Примеры решения задач. 1. Вычислить интегралы от иррациональных функций:

1. Вычислить интегралы от иррациональных функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

►а) Подстановкой приведем интеграл к рациональному виду. Тогда

.

б) Заметим, что

.

Применим подстановку , откуда

;

.

Итак,

=

.

в) Выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене под знаком корня, получаем:

.

Тогда, используя табличный интеграл 14, находим

.

г) Разобьем данный интеграл на сумму двух интегралов (в первом в числителе образуем производную от подкоренного выражения, а во втором выделим полный квадрат в подкоренном выражении):

.◄

Задания для самостоятельной работы

1.6. Найти интегралы от иррациональных функций:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) .

Тема 2. Определенный интеграл.

Формула Ньютона-Лейбница.

Вычисление определенных интегралов

Примеры решения задач

.

1. Вычислить определенные интегралы, используя их свойства и формулу Ньютона-Лейбница:

а) ; б) ; в) .

►Так как все подынтегральные функции непрерывны на соответствующих отрезках, то получаем:

а) ;

б) Под знаком интеграла неправильная дробь. Выделим целую часть, используя разложение

.

Имеем:

,

и данный интеграл

;

в) .◄

2. Методом замены переменной вычислить определенные интегралы:

а) ; б) ; в) .

а) Введем новую переменную . Тогда и новые пределы интегрирования при и при .

;

б) ;

в)

.◄

3. Используя формулу интегрирования по частям (1.4), вычислить следующие интегралы:

а) ; б) .

►а)

.

б)

= .◄

4. Вычислить интеграл .

►Используем подстановку . Тогда при , при и .

К последнему интегралу применим интегрирование по частям:

◄