Примеры решения задач. Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл

Непосредственное интегрирование.

Замена переменной. Интегрирование по частям.

Примеры решения задач

1. Вычислить интегралы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) .

►а) Применив табличный интеграл 1 (см. приложение), получим:

б) По табличному интегралу 3, при имеем:

в) В данном случае переменной интегрирования является , а переменную считаем постоянной, причем . Тогда, по свойствам неопределенного интеграла и табличному интегралу 3 имеем:

г) Аналогично предыдущему находим:

.

д) В числителе дроби прибавим и отнимем 1, затем почленно поделим числитель на знаменатель и применим табличные интегралы 1 и 11:

.

е)

.

ж) Подынтегральное выражение запишем в виде:

.

Согласно табличным интегралам 8 и 7 имеем:

.◄

2. Вычислить интегралы методом подстановки:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) .

►а) Пусть , тогда . Подставим эти значения в подынтегральное выражение:

.

Данный интеграл можно вычислить следующим способом:

.

б) Аналогично предыдущему примеру имеем:

.

в) Пусть , тогда , и

.

г) .

Рассмотренные выше интегралы легко вычислить по общей формуле

, (1.1)

где − первообразная функции .

д) Данный интеграл приводится к табличному, если положить . Тогда и .

Приведем еще одну общую формулу:

(1.2)

е) Так как , то, умножив и поделив интеграл на 2 и внеся множитель 2 под знак интеграла, а затем под знак дифференциала, получим:

ж) Пусть , поскольку . Имеем

.

з) Если числитель подынтегрального выражения умножить на 2, то он будет равен производной подкоренного выражения. Тогда

.

Полезно запомнить общую формулу, которая фактически применялась при вычислении данного интеграла, а именно

(1.3)

и) Пусть . Тогда и

= .◄

3. Вычислить интегралы методом интегрирования по частям:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

► Для применения метода интегрирования по частям необходимо подынтегральное выражение представить в виде произведения двух множителей и , причем через обозначить функцию, которая упрощается при дифференцировании (например, ), а через − выражение, из которого непосредственным интегрированием несложно определить (например, ).

а) Пусть , , тогда .

Подставляя эти значения в формулу интегрирования по частям

(1.4)

получим:

.

б) Пусть тогда . Тогда

.

К последнему интегралу снова применим метод интегрирования по частям, полагая , откуда . Итак, имеем .

в) Пусть , тогда . Имеем:

. (1.5)

Применим формулу интегрирования по частям к интегралу , полагая , откуда . Тогда

.

Подставляя этот результат в (1.5), получаем уравнение с неизвестным интегралом , т.е. , отсюда

,

.

г) Пусть . Тогда и

.

Аналогично предыдущему примеру

,

.

д) Пусть . Тогда

.◄