Примеры решения задач. 1. Вычислить интегралы от рациональных функций:

1. Вычислить интегралы от рациональных функций:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

►а) Выделим целую часть подынтегральной дроби:

	+1

Тогда .

Разложим знаменатель на множители:

Представим дробь в виде суммы элементарных дробей:

Правую часть последнего равенства приведем к общему знаменателю и приравняем числители:

Поскольку числа 0, 1, являются корнями знаменателя, то коэффициенты А, В и С удобно вычислить, подставляя именно эти значения в последнее равенство.

При , т.е. ;

при , т.е. ;

при , т.е. .

Вычислим данный интеграл, учитывая значения найденных коэффициентов и предыдущее разложение:

б) Имеем .

Аналогично предыдущему примеру получаем табличный интеграл 13:

в) Дробь правильная. Знаменатель имеет двукратный корень – 3. Тогда дробь представима в виде .

Приведем к общему знаменателю это равенство и приравняем числители:

. При имеем , при получаем , откуда , . Подставляя значения А и В в предыдущее разложение, находим:

г) Имеем интеграл вида .

Выделяя в числителе производную знаменателя и представляя интеграл в виде суммы двух интегралов, к которым последовательно применяем формулу (1.2) и табличный интеграл (12), будем иметь:

Указанным методом можно вычислить интегралы вида и в случае, если знаменатель имеет действительные корни . Тогда вместо формулы 12 таблицы интегралов используют формулу (13).

д) Знаменатель дроби имеет один действительный корень и два мнимых, т.к. .

Выделив целую часть , разложим последнюю дробь на элементарные: .

Коэффициенты А, В и С определяем из равенства комбинированным способом. При имеем . Для вычисления В и С приравняем коэффициенты при одинаковых степенях: