ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПУТИ НА ГРАФИКЕ

ЗАВИСИМОСТИ υ = υ(t)

Мгновенной путевой скоростью называется величина, равная отношению при ,где Ds – приращение пути, пройденного телом за время Dt.

Секущая к графику s(t), проходящая через точки М (t₁;s₁) и N (t₂;s₂) представляет собой график равномерного движения (рис. 3.1), скорость которого равна средней путевой скорости на интервале времени [t₁; t₂]. Чем круче идет секущая MN, т.е. чем больший угол a она составляет с осью t, тем бóльшую среднюю скорость имеет тело на участке [t₁; t₂].

Если устремить Dt к нулю, секущая превратится в касательную к графику s(t).

Чем больше угол наклона касательной к графику s(t), тем больше мгновенная путевая скорость в данный момент.

СТОП! Решите самостоятельно: А1, А2, В1–В3.

Геометрический смысл пути на графике υ = υ(t)

Задача 3.1.Дан график зависимости υ = υ(t) = const (рис. 3.2). Найти путь за промежуток времени [t₁; t₂].

Решение. Так как движение равномерное, то s = υ₀Dt = υ₀(t₂ – t₁). С другой стороны, υ₀ – это высота, а (t₂ – t₁) – основание прямоугольника ABCD под графиком υ = υ(t) (рис. 3.2). Поэтому получается, что путь можно вычислить так, как если бы мы определяли площадь прямоугольника ABCD со сторонами υ₀ и (t₂ – t₁).

Задача 3.2. По графику υ(t) (рис. 3.3) определить путь, пройденный за промежуток времени [t₁; t₂]. Величины Dt₁, Dt₂, Dt₃, Dt₄, υ₁, υ₂, υ₃, υ₄ заданы.

Решение. Так как на каждом из промежутков Dt_i движение равномерное, то путь равен:

s = υ₁Dt₁ + υ₂Dt₂ + υ₃Dt₃ + υ₄Dt₄ = .

Заметим, что путь вычисляется как сумма площадей прямоугольников со сторонами υ_i и Dt_i, и это есть площадь под графиком υ(t) на участке [t₁; t₂].

Задача 3.3. По графику υ(t) (рис. 3.4) определить путь, пройденный за промежуток времени [0; t].

Решение. Разобьем интервал времени [0; t] на N малых интервалов Dt_i , таких, что в пределах каждого Dt_i значение υ_i можно считать практически постоянным. Тогда согласно задаче 3.2 путь можно вычислить как сумму площадей прямоугольников со сторонами Dt_i и υ_i. Но если N ® ¥, то сумма этих площадей будет стремиться к площади под графиком υ(t), т.е. к площади прямоугольного треугольника АВС с катетами υ₀ и t: .

Вывод: путь можно вычислять как площадь под графиком υ(t).

СТОП! Решите самостоятельно: С3.

Читатель: По-моему, все-таки нельзя говорить, что путь равен площади под графиком. Это неверно хотя бы из соображений размерности: ведь путь измеряется в метрах, а площадь в квадратных сантиметрах!

Автор: Вы совершенно правы! Давайте разберемся: какая связь между площадью под графиком υ(t), выраженной в см², и пройденным путем, выраженным в м.

Что такое масштаб?

Масштабом называется величина, равная отношению длины отрезка, изображающего на графике (карте, чертеже) физическую величину, к реальному значению этой величины:

Пример 3.1. На географической карте отрезок 1 см изображает расстояние 1 км на местности. В этом случае масштаб равен

1 : 100 000.

Пример 3.2. Отрезок 1 см изображает на графике промежуток времени t = 10 с. Тогда (см/с).

Пример 3.3. Отрезок 1 см изображает на графике скорость υ = = 2 м/с. Тогда (см/(м/с)).

Пример 3.4. Пусть отрезок Dх изображает время Dt, а М_t – масштаб времени на графике. Тогда .

Пример 3.5. Пусть отрезок у изображает скорость υ, а М_υ – масштаб времени на графике. Тогда .

Задача 3.4. Дан произвольный график υ = υ(t) (рис. 3.5). Площадь под графиком на участке [t₁; t₂] известна и равна S_гр (см²). Масштаб скорости М_υ (см/(м/с)) и масштаб времени М_t (см/с) заданы. Определить путь, пройденный за промежуток времени [t₁; t₂].

Sгр Мυ (см/(м/с)) Мt (см/с)	Решение. Разобьем отрезок [t1; t2] на малые интервалы Dti (i = 1, 2, … N; N ® ¥). Пусть υi – скорость, соответствующая интервалу Dti, тогда путь . (1)
s = ?
Рис. 3.5	Пусть Dхi – отрезок (см), изображающий время Dti, а уi – отрезок (см), изображающий скорость υi, тогда: ; .

Подставляя эти выражения в (1), получаем

Ответ: .

Итак, запомним, что путь равен:

, (3.1)

где s_гр– площадь под графиком.

Задача 3.5. Дан график υ = υ(t), имеющий вид полуокружности с центром в точке [t; 0] (рис. 3.6). Найти путь за промежуток време-

ни [0; 2t].	Рис. 3.6
υ0 t
s = ?

Решение. Пусть R – радиус окружности, [R] = см, М_t – масштаб времени, [М_t] = см/с; М_υ – масштаб скорости, [М_υ] = см/(м/с). Тогда согласно формуле (3.1) находим путь:

.

Ответ: .

СТОП! Решите самостоятельно: С1, С2.