Понятие устойчивости систем регулирования

Система автоматического регулирования (САР) может быть устойчивой, неустойчивой и находится на границе устойчивости.

Система регулирования устойчива (то есть работоспособна), если регулируемый параметр j, после нанесения возмущения на объект, с течением времени устанавливается на новом значении или возвращается к заданному значению.

Система неустойчива, если регулируемый параметр j с течением времени неограниченно возрастает.

Система находится на границе устойчивости, если регулируемый параметр j не изменяется или совершает колебания с постоянной амплитудой.

Все виды устойчивости систем определяются решением уравнения свободного движения. Корни характеристического уравнения могут быть действительными числами, положительными или отрицательными, или комплексными числами с положительными, отрицательными или равными нулю действительными частями. Они и определяют устойчивость систем регулирования.

Рассмотрим это качественно на примере уравнения системы второго порядка.

Характеристическое уравнение рассмотренной ранее системы регулирования имеет вид

Перепишем его в удобном виде (как в инерционном элементе 2-го порядка)

.

Здесь: ; .

Уравнение имеет два корня р₁ и р₂.

,

или ; .

Рассмотрим различные случаи.

1. р₁ и р₂ – действительные числа.

Они получаются, если Т₁²-4Т₂²>0 в подкоренном выражении, т.е. Т₁>2Т₂. При этом соотношении коэффициентов получаем действительные корни. Они в общем случае могут быть положительными или отрицательными: р_1,2>0; p_1,2<0.

Дифференциальное уравнение свободного движения системы

.

Его общее решение, как известно, представляет сумму экспонент

Тогда при p_1,2<0, и с течением времени t стремятся к нулю. Параметр jустанавливается на каком-то значении. Система устойчива (рис.66).

При p_1,2>0 и с течением времени неограниченно растут. Система неустойчива.

2. р_1,2 – комплексные числа

Они получаются при Т₁< 2Т₂. Тогда подкоренное выражение <0.

,

где ; ; .

Решение дифференциального уравнения опять зависит от экспоненты при

.

Наличие и говорит о том, что процесс регулирования будет колебательным, а е^at определяет амплитуду колебаний. Следовательно, рост или затухание амплитуды колебаний с течением времени зависит от того, больше или меньше нуля действительная часть a комплексного числа.

1. a<0. . С течением времени колебания затухают, система устойчива (рис. 72).

2. a>0. с течением времени амплитуда колебаний растет – системы неустойчива (рис. 73).

Если поведение системы описывается дифференциальным уравнением высокого порядка, то общее решение также представлено в виде суммы экспонент

Все предыдущие рассуждения имеют силу и в этом случае, только для всех корней р₁, р₂, р₃, р₄, ….

Общее условие устойчивости по корням характеристического уравнения системы:

Для того, чтобы система автоматического регулирования была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все действительные корни характеристического уравнения системы и все действительные части комплексных корней были отрицательны.

Если хотя бы один из действительных корней или действительная часть одного комплексно-сопряженного корня будут положительны, системабудет неустойчивой.

Если действительная часть комплексно сопряженных корней равны нулю (a=0), система находится на границе устойчивости.

Действительно, тогда

.

Система совершает колебания с постоянной амплитудой.

Если система описывается дифференциальным уравнением высокого порядка, то определить его корни решением уравнения невозможно. Для определения устойчивости в этих случаях разработаны критерии устойчивости (алгебраические и частотны).