Позиционные элементы.

Подразделяются на следующие виды:

1) пропорциональные;

2) апериодические (инерционные) первого порядка;

3) апериодические (инерционные) второго порядка;

4) колебательные.

Пропорциональный элемент (усилительный)

Уравнение:

х_вых=k×х_вх, (7.6)

где k – коэффициент усиления.

Передаточная функция

; ;

Частотные характеристики

(7.7)

. (7.8)

Сдвига по фазе нет.

Разгонная характеристика показана на рис. 23. Она строится по уравнению элемента

Апериодический (инерционный) элемент первого порядка

Дифференциальное уравнение элемента:

; (7.9)

где k – коэффициент усиления; Т – постоянная времени.

Разгонная характеристика получается из решения дифференциального уравнения элемента

. (7.10)

Следовательно, разгонная характеристика элемента представляет собой экспоненту. Постоянная времени Т представляет собой отрезок времени, отсекаемый проекцией касательной, проведенной к кривой разгона в начальной точке при t₀. При t=¥ х_вых устанавливается на новом значении х_{вых,уст}. Уравнение статики элемента получается из дифференциального уравнения,

,

из которого легко получают коэффициент усиления k по экспериментальным данным.

Передаточная функция получается из дифференциального уравнения

. (7.11)

Частотная передаточная функция получается заменой оператора р на jw

где ; .

Амплитудно-частотная характеристика

; (7.12)

. (7.13)

При частоте w, изменяющейся от 0 до ¥ А(w) изменяется от k до 0, а j(w) ® от 0 до (-p/2). Отрицательное значение j(w) означает, что в элементе происходит запаздывание в прохождении сигнала.

Примеры этого элемента:

1) одноемкостные статические объекты (рис. 25а);

2) термопары и термометры сопротивления (рис. 25б);

3) электрическая цепь, содержащая емкость и электрическое сопротивление (рис. 25в).

а)	б)	в)

Рис. 25. Примеры инерционных элементов первого порядка:

а – одноемкостный статический объект регулирования уровня воды; б – термопара;

в – электрическая цепочка сопротивление R – емкость C

Апериодический (инерционный) элемент второго порядка

Дифференциальное уравнение элемента:

. (7.14)

При определенном соотношении коэффициентов Т₁ и Т₂ получим апериодический элемент второго порядка. Корни уравнения – действительные числа. Операторный вид уравнения:

.

Характеристическое уравнение

. (7.15)

Его корни получаются из решения этого квадратного алгебраического уравнения

, где р_1,2 – действительный числа при соотношении Т₁>2Т₂. Это условие соотношения коэффициентов, при котором корни уравнения (6.38) являются действительными числами. .

Разгонная характеристика элемента

При замене этого элемента на апериодический элемент 1^го порядка, в точке перегиба кривой разгона проводят касательную, ограниченную начальным значением х_вых,0 и его конечным значением х_{вых,уст}. Подкасательная (проекция касательной на ось времени) численно равна постоянной времени Т. Промежуток времени от t₀ до начал отсчета постоянной времени Т называют переходным запаздыванием t_п.

Передаточная функция элемента получается из уравнения, записанного в операторном виде

. (7.16)

Полином по р в знаменателе может быть разложен на множители. Тогда

; (7.17)

где Т₃ и Т₄ – новые постоянные времени. Связь постоянных времени и Т₁ с Т₃ и Т₄ получается раскрытием скобок в знаменателе передаточной функции ; .

Тогда передаточную функцию апериодического элемента 2-го порядка можно представить в виде

. (7.18)

То есть, этот элемент может быть представлен последовательным соединением двух апериодических элементов 1-го порядка с постоянными времени Т₃ и Т₄ и коэффициента усиления k и 1.

Такое представление упрощает получение частотных характеристик апериодического элемента 2-го порядка

;

.

Следовательно, АЧХ будет

, (7.19)

а ФЧХ –

. (7.20)

;

;

; (7.21)

; ; . (7.22)

Этот метод позволяет легко определить АЧХ и ФЧХ сложных элементов, которые могут быть представлены последовательным соединением простейших элементов.

Колебательные элементы

Уравнение элемента

.

Корни этого уравнения – комплексные числа. Соотношения между постоянными времени Т₁ и Т₂ следует из решения характеристического уравнения

.

При Т₁ < 2Т₂ имеем комплексные корни

. (7.23)

Из этого следует, что процесс изменения х_вых во времени будет колебательным

Разгонная характеристика

Примером колебательных элементов могут служить пневматические, гидравлические и электрические демпферы (гасители колебаний). На рис. 28 показана электрическая цепочка, состоящая из индуктивности L, сопротивления R и емкости С.