Уравнение и передаточные функции элементов линейных систем автоматического регулирования.

Любая система автоматического регулирования может быть достаточно сложной и состоять из целого ряда элементов, соединенных между собой различными связями. Объект регулирования может состоять из соединения нескольких объектов, а регулятор может иметь другие элементы, кроме основных, рассмотренных ранее. Тогда структурная схема системы регулирования может иметь вид

Рис. 12.

Связи в системе могут быть: основными, дополнительными, дополнительными обратными.

Основная связь – образуется основной цепью воздействия (основное прохождение системы). Например: m_об – 1 – 2 – 3 – φ – для объекта; φ → 4 – 5 – 6 – 7 – m_рег - для регулятора.

Дополнительная связь – образует путь передачи воздействий в дополнения к основной. Например: элемент 9, включенный параллельно элементу 6.

Дополнительная обратная связь – направлена с выхода какого-либо элемента на его вход или на вход предыдущих элементов. Например: элемент 8 с подачей сигнала с выхода элемента 7 на вход элемента 5.

Элементы, входящие в систему регулирования, должны быть простейшими, то есть пропускать сигнал от входа к выходу и поведение его во времени должно описываться дифференциальным уравнением не выше второго порядка, которое всегда можно составить, рассмотрев физику процесса.

Так как дифференциальное уравнение сложной системы регулирования составить практически невозможного, в автоматике используется следующий подход:

1) разбивают систему на простейшие элементы;

2) получают дифференциальные уравнения элементов;

3) по дифференциальными уравнениями получают их передаточные функции;

4) рассматривая соединения элементов в системе регулирования, получают передаточную функцию системы по передаточным функциям элементов;

5) из передаточной функции системы получают дифференциальное уравнение системы.

Составим дифференциальное уравнение бака с водой как объекта регулирования уровня воды. Это элемент системы регулирования (рис.13):

Рис. 13. Q₁, м³/с – приток воды; Q₂, м³/с – расход воды из бака; S – сечение бака, = const, м₂; Н₀ – значение уровня в статическом режиме; DН=Н – Н₀ – отклонение уровня от статического (заданного) значения; V₀ – объем жидкости в баке в статическом режиме; DV – изменение объема жидкости в динамическом режиме.

Cтатический режим

; ;

Динамический режим

; .

Тогда имеем

- уравнение баланса расходов в динамике

Представим расходы в отклонениях:

Тогда имеем

(из уравнения статического режима).

Имеем

Из рисунка следует, что уровень Н не влияет на приток Q₁, следовательно .Уровень H влияет на расход воды из бака Q₂, следовательно, Q₂ является функцией уровня. В теории систем автоматического регулирования рассматриваются малые отклонения параметра (уровня Н) от заданного значения (Н₀). В этом случае можно принять, что выходные величины изменяются пропорционально изменению входных величин. Исходя из этого можно записать

где k_н - коэффициент пропорциональности (коэффициент усиления).

Тогда уравнение динамики бака принимает вид

(6.1)

Запишем уравнение (6.1) в виде

. (6.2)

Введем обозначения: ; и запишем уравнение (6.2), используя эти обозначения

. (6.3)

В этом уравнении К называют размерным коэффициентом усиления. Он имеет размерность отношения выходной величины (DН) к размерности входной величины (DQ₁). Коэффициент при производной Т [с] имеет размерность времени и называется постоянной времени. Это линейное дифференциальное уравнение.

При составлении дифференциального уравнения какого-либо другого элемента системы регулирования, в котором протекают другие физические процессы (например, нагревательная печь), в выражение для расчета К и Т будут входить другие физические величины, но вид уравнения может быть таким же.

В автоматике чаще всего имеют дело с уравнениями в безразмерном виде. Тогда элементы, в которых протекает совершенно разные физические процессы, но имеющие один и тот же вид дифференциального уравнения, с точки зрения автоматики являются одинаковыми.

Безразмерная форма дифференциального уравнения элемента.

Для записи уравнения в безразмерном виде выбирают базовые значения величин, входящих в уравнение. За базовое значение принимают заданное значение параметра (H₀) и максимально возможные изменения притоков (расходов) .

Введём безразмерные значения уровня (φ) и расхода на притоке(μ)

; . (6.4)

Тогда уравнение динамики бака принимает вид

. (6.5)

Введём обозначения:

[с]; . (6.6)

Тогда уравнение запишется в виде, общепринятом в теории автоматического регулирования

. (6.7)

В этом уравнении Т, [с]имеет размерность времени, поэтому называется постоянной времени, а k – безразмерный коэффициент усиления элемента (коэффициент передачи).

Уравнение статики будет иметь вид , из которого .Коэффициент усиления k показывает во сколько раз выходная величина больше или меньше входной в статических режимах работы.

Можно составить дифференциальное уравнение двух последовательно соединенных баков с водой. Тогда получается дифференциальное уравнение второго порядка вида

. (6.8)

В этом уравнении коэффициенты при производных имеет размерность времени, поэтому Т₁ и Т₂- постоянные времени.

В более сложных элементах можно получить более сложные дифференциальные уравнения, например,

. (6.9)

Так как работать в дальнейшем с дифференциальными уравнениями достаточно неудобно и сложно, в автоматике параметры, зависящие от времени t, переводят в плоскость комплексных чисел, вводя различные операторы. В плоскости этих чисел получают алгебраические уравнения, работать с которыми значительно проще. Для перевода дифференциальных уравнений в плоскость других параметров используется преобразование Лапласа, но чаще используется формальный перевод введением оператора дифференцирования.

Запись уравнений в операторном виде.

Используется формальный перевод дифференциальных уравнений в операторный вид, который полностью совпадают со строгим, с использованием преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях, что практически всегда выполняется в линейной теории автоматического регулирования.

Введём оператор дифференцирования:

; ; …; . (6.10)

Здесь р - оператор дифференцирования. Тогда записанные ранее дифференциальные уравнения в операторном виде будут иметь вид:

;

; (6.11)

Эти уравнения алгебраические. К ним можно применить свойства алгебры, например, вынести постоянный множитель φ и μ за скобки. Получим вышеприведённые уравнения в следующем виде.

;

; (6.12)

Эти уравнения можно записать в общем виде:

; (6.13)

где D(р) - называют собственным оператором функции φ, а k(р) - оператором воздействий по μ.

Тогда в вышеприведенных уравнениях (6.12) собственные операторы и операторы воздействий будут следующие:

; ;

; ; (6.14)

; .

Введем понятие передаточной функции :

Строгое определение. Под передаточной функцией W(p) понимают отношение изображения по Лапласу выходной величины φ(p) к изображению по Лапласу входной величины m(p) при нулевых начальных условиях

(6.15)

Из записи уравнения в общем виде (6.13) следует

(6.16)

Из (6.15) получим

. (6.17)

Из (6.17) следует, что для нахождения выходной величины j(р) по заданному входному воздействию m(р) достаточно знать передаточную функцию W(р) элемента или системы.

Второе определения передаточной функции

Под передаточной функцией понимают отношение оператора воздействий К(р) и собственному оператору функции D(р), полученными из записи дифференциальных уравнений в операторном виде.

Знание передаточных функций отдельных элементов позволяет получить передаточные функции различных соединений элементов и передаточную функцию системы регулирования.

Передаточная функция различных соединений элементов.

Различают три основных вида соединений: последовательное, параллельное и последовательное соединение с обратной связью.

1. Передаточная функция последовательно соединения элементов

Рис. 14. Последовательное соединение элементов

Из определения передаточной функции следует, что передаточная функция этого соединения равна

Тогда .

Из этого следует

;

Тогда передаточная функция соединения будет равна

. (6.18)

Следовательно, передаточная функция последовательного соединения элементов равна произведению передаточных функций всех элементов.

2. Передаточная функция параллельного соединения элементов.

При параллельном соединении элементов имеют один и тот же входной сигнал, а выходные сигналы суммируются (рис. 15).

(6.19)

Следовательно, передаточная функция параллельного соединения элементов равна сумме передаточных функций всех элементов.

Рис. 15. Параллельное соединение элементов

3. Передаточная функция последовательного соединения с обратной связью.

Различают соединения с единичной и неединичной обратной связью.

Соединение с единичной обратной связью.

Рис. 16. Последовательное соединение элементов с единичной обратной связью

Передаточная функция единичной обратной связи равна

Обратные связи могут быть положительными и отрицательными.

Положительная – усиливает основной входной сигнал: х_вх + х_вых

Отрицательная – ослабляет основной входной сигнал: х_вх – х_вых.

Для получения передаточной функции этого соединения разорвём обратную связь, а её действие на разомкнутую систему учтём введением её сигнала на вход первого элемента (х_вх ± х_вых). Получим последовательное соединение трёх элементов, передаточная функция которого известная – произведение передаточных функций. По определению, передаточная функция замкнутой системы равна

Передаточная функция разомкнутой системы

Отсюда можно получить передаточную функцию замкнутой системы:

(6.20)

Знак «–» в знаменателе (6.20) говорит о том, что в системе использована положительная обратная связь. При увеличении входного сигнала х_вых будет расти, что противоречит смыслу процесса регулирования. Поэтому для целей регулирования положительная обратная связь не подходит. Она в основном используется в различного рода усилителях входных сигналов.

Знак «+»в знаменателе (6.20) говорит о том, что в системе использована отрицательная обратная связь. При увеличении входного сигнала х_вых будет уменьшаться. Следовательно, отрицательная обратная связь используется в системах регулирования. Тогда передаточная функция системы будет иметь вид

(6.20)

Соединение с неединичной обратной связью (рис. 16.)

Рис. 17. Последовательное соединение элементов с неединичной обратной связью

Передаточная функция обратной связи по определению

и .

Если разомкнуть систему, то на входе в элемент 1 будет сигнал . Проделав то же самое, что и при единичной обратной связи, получим передаточную функцию замкнутой системы при отрицательной обратной связи в виде

. (6.22)

Оценим влияние обратной связи на изменение выходной величины системы х_вых при изменении входной величины х_вх, рассмотрев разомкнутую систему из трех элементов (6.18) и замкнутой единичной обратной связью (6.21) и неединичной (6.22).

Пусть элементы системы будут самые простые, имеющие передаточные функции, равные коэффициентам усиления: ; ; ; . Тогда в разомкнутой системе (рис.14) выходная величина будет равна , то есть х_вых при изменении х_вх будет существенно изменяться в К раз ( ).

В замкнутой системе с единичной обратной связью

то есть х_вых будет незначительно изменяться, по сравнению с изменением х_вх.

В замкнутой систем с неединичной обратной связью ( )

Изменяя воздействие на систему обратной связью (k₄) в широких пределах, можно влиять на изменение выходной величины х_вых при постоянных значениях k₁; k₂; k₃.

Рассмотрим систему автоматического регулирования (САР) как совокупность объекта регулирования и регулятора (рис. 18) по каналу регулирующего воздействия m_рег

Рис. 18. Система автоматического регулирования

На основании формул (6.22) для замкнутой системы регулирования можно записать передаточную функцию

(6.23)

Поскольку объект регулирования имеет вполне определенную передаточную функцию W_об(р), изменять которую практически нет возможности, повлиять на поведение системы регулирования можно лишь изменяя свойства регулятора (изменять значения W_рег(р)).

Передаточная функция сложной системы.

В сложных системах могут встречаться различные соединения элементов. Для определения передаточной функции сложной системы в ней выделяют участки с различными соединениями. Используя формулы передаточных функций соединений, находят их передаточные функции и подгоняют систему под известный вид – последовательное соединение с обратной связью.

Пример. (рис. 19).