Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона

Система нелинейных уравнений решается методом Ньютона аналогично.

Пусть дана система нелинейных уравнений

f1(х1, . . ., хn)=0;

f2(x1, . . ., хn)=0;

… … …;

fn(х1, . . . , хn)=0.

Эта система заменяется системой линеаризованных уравнений

;

;

… … … … … ;

.

В матричном виде система (2) записывается

х1 f1(х1, х2, …, хn)

х ∆х2 = f2(х1, х2, …, хn)

… … … … … …

хn fn(х1, х2, …, хn)

или в общем матричном виде

, (8)

где - матрица Якоби; ∆х – вектор-столбец поправок; F(х) – вектор-столбец невязок.

Данная система линейных уравнений может быть решена любым известным численным методом (например, методом Гаусса).

Алгоритм решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона состоит из следующих действий:

  1. Зададим начальные приближения , , …, .
  2. Вычислим невязки f1(х1, х2, …, хn), f2(х1, х2, …, хn), …, fn(х1, х2, …, хn).
  3. Вычислим все элементы матрицы частных производных при х1= , х2= , …, хn= .
  4. Найдем поправки , , …,

Для этого решим систему линейных уравнений

численным методом относительно поправок ∆х(1).

  1. Определим новые приближения

  1. Вычислим невязки f1(х1,…, хn), f2(х1,…, хn), …, fn(х1,…, хn)
  2. Проверим условия

|f1(х1,…, хn)|≤ε1;

|fn(х1,…, хn) )|≤εn.

Если не выполняется хотя бы одно из n условий, то производим следующую итерацию – повторяем действия 3-7, уже используя полученные значения , , …, . Итерационный процесс нахождения корней системы нелинейных уравнений будем продолжать до выполнения всех условий без исключения.

Метод Ньютона эффективен в том случае, когда известны хорошие начальные приближения неизвестных, достаточно близкие к корням системы нелинейных уравнений. Это условие в наших задачах, как правило, удается выполнить.

Пример: нужно решить систему нелинейных уравнений

 

(при ε=0,01)

0 итерация 1. ; 2. ;

1 итерация

1.

2. х = или ;

Отсюда ; .

3. ;

.

4. ; |0,01667|>ε

; |0,114|>ε

2 итерация

1.

2. х = ;

3. ;

;

4. 0,0002714<ε

0,0000071<ε

Результаты расчетов сведем в таблицу

№ итерации х хк f(к)
- -  
0,1667 -1,125 -0,1667 1,125 0,01667 0,114
-0,0191 -0,0016 -0,1476 1,1266 0,0002714 0,0000071

 

 








Дата добавления: 2016-02-16; просмотров: 644;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.012 сек.