Сходимости итерационного процесса

Итерационный процесс будет сходящимся, если модуль коэффициента на главной диагонали больше суммы (или равен сумме) модулей остальных элементов строки (свободные члены при этом не учитываются)

Это достаточное условие сходимости, но не необходимое, т.е. данное условие гарантирует сходимость итерационного процесса. Условие не является чрезмерным в электрических системах оно часто выполняется, в том числе для матриц узловых проводимостей Y_у при решении систем узловых уравнений Y_iU_у=I_у и контурных сопротивлений Z_к при решении системы контурных уравнений Z_кI_к= .

Итерационный процесс сходится значительно быстрее, если диагональные элементы матрицы А значительно больше недиагональных элементов. Этого можно добиться меняя строки и столбцы местами, при этом оставляя систему линейных уравнений неизменной относительно значений корней.

Пример: Условие сходимости не выполняется

Поменяем строки местами

Или поменяем столбцы местами

, т.е.

Условие сходимости также выполняется.

Метод итерации обладает таким важным свойством, как самоисправление арифметических ошибок. Можно доказать, что если вычислительный процесс сходится при х⁽⁰⁾, то он будет сходится и при другом приближении, которое вычислено с ошибкой. При ошибке у нас только изменится число итераций.

Метод Зейделя

Метод Зейделя представляет модификацию метода простой итерации. Идея состоит в том, что на каждой к-й итерации при вычислении значения переменной используются значения переменных , . . . . , , уже подсчитанных на этой же к-й итерации.

Пример:

Приведем к виду удобному для итерации

Зададимся исходным приближением и ε = 0,001.

Делаем первую итерацию по методу Зейделя

;

;

и т.д.

Занесем результаты расчетов в таблицу

№ итерации (к)
	1,2	1,06	0,948
	0,9992	1,00548	0,9991
	0,9996	1,0002	1,0000
	1,0000	1,0000	1,0000

Метод Зейделя, имеет, как правило, лучшую сходимость, чем метод простой итерации. И сходится в ряде случаев даже тогда, когда метод простой итерации не обеспечивает сходимость. Но (значительно реже) бывает и наоборот.