Уравнение простого трубопровода

Рассмотрим вывод уравнения простого трубопровода для схемы короткого трубопровода показанного на рисунке 5.1. Насос из открытого бака перекачивает жидкость в сеть. На входе в насос стоит вакуумметр. Заданы свойства жидкости, материал трубопровода и геометрия трубопровода.

Рисунок 5.1 - Схема короткого трубопровода

Для вывода уравнения простого трубопровода в данном случае:

1.5.1.1. Выберем два поперечных сечения там, где известны давления. Нумеруем эти сечения по направлению движения жидкости 1-1 и 2-2. Выбираем плоскость сравнения 0-0 проходящую через центр тяжести нижнего поперечного сечения.

1.5.1.2.Распишем значения z и p в этих поперечных сечениях. Для Рисунок 5.1 z₁ = 0, z₂ = H_гвв, абсолютное давление в первом сечении равно атмосферному давлению p₁ = p_ат, абсолютное давление во втором сечении равно p₂ = p_ат - p_v.

1.5.1.3.Распишем скорости в поперечных сечениях. Площадь первого поперечного сечения гораздо больше площади поперечного сечения трубы, поэтому скорость в первом поперечном сечении гораздо меньше скорости в трубе и примем её равной нулю v₁ = 0. Площадь второго поперечного сечения равна площади поперечного сечения трубы, поэтому скорость во втором поперечном сечении равна скорости в трубе v₁ = v. Подставим полученные значения в уравнении Бернулли для потока реальной жидкости:

.

(5.1)

Упрощая полученное уравнение, получим

.

(5.2)

1.5.1.4. Находим потери напора в трубопроводе. Потери напора равны сумме потерь напора на местные сопротивления и сумме потерь напора на трение. Местными потерями являются: потери напора на сетке с обратным клапаном, которая ставится на входе в трубу: поворот трубы на 90°; задвижка на трубе. Все эти потери рассчитываются по скорости после местного сопротивления, а это скорость в трубе. По справочникам находим значения коэффициентов этих местных сопротивлений z_сетка, z_пов, z_зад. Потери напора на трение находится по формуле Дарси-Вейсбаха. Тогда потери напора равны

(5.3)

1.5.1.4. Подставим потери напора в уравнение Бернулли, получим:

(5.4)

Это и есть уравнение простого трубопровода для данного случая. Это уравнение не зависит от типа расчета трубопровода.

Первый тип расчета

Пусть по известным данным необходимо рассчитать давление вакуума p_v. В этом случае из уравнения простого трубопровода выразим определяемую величину:

(5.5)

Дальнейший порядок расчета следующий:

Рассчитываем объёмный расход Q = V/t;

Рассчитываем скорость в трубе v = Q/w = 4 Q/(p d²);

Рассчитываем число Рейнольдса Re = v d r/m = v d/n и определяем режим движения жидкости в трубопроводе. Если число Рейнольдса меньше критического Re_кр = 2000¸2320, то режим движения ламинарный, если больше то турбулентный.

Рассчитываем коэффициент гидравлического сопротивления трения

(5.6)

Подставляя полученные значения в уравнение (5.5), найдем неизвестную величину.

Второй тип расчета

Пусть по известным данным необходимо рассчитать скорость или расход в трубопроводе. В этом случае уравнения простого трубопровода будет транцентдентным, то есть его нельзя разрешит относительно скорости так, как скорость входит в это уравнение в явном виде, но и в неявном виде при определении коэффициента гидравлического сопротивления трения l. В этом случае возможны два метода расчета: метод подбора и метод итераций.

Метод подбора.

В уравнения простого трубопровода все известные слагаемые перенесём в левую часть, а неизвестные в правую:

(5.7)

Рассчитываем численное значение левой части.

Дальнейший порядок расчета следующий:

Задаемся произвольным значением скорости в трубопроводе v₀ (скорость в трубопроводе обычно меньше 5 м/с);

Рассчитываем число Рейнольдса и определяем режим движения жидкости в трубопроводе;

Рассчитываем коэффициент гидравлического сопротивления трения l;

Рассчитываем правую часть уравнения;

Сравниваем рассчитанную правую часть уравнения и левую. Если правая часть уравнения меньше левой H_прав < H_лев то задаёмся большим значением новой скорости v₁ > v₀, если же правая часть уравнения больше левой H_прав > H_лев то задаёмся меньшим значением новой скорости v₁ < v₀.

Результаты расчетов удобно поместить в таблицу:

По полученным значениям строим график зависимости правой части уравнения от скорости. Для построения графика необходимо, как минимум три точки. По известной левой части по графику находим необходимую скорость и рассчитываем расход.

Метод итераций

Уравнения простого трубопровода разрешаем относительно скорости:

(5.8)

Индекс i – номер итерации.

Дальнейший порядок расчета следующий:

Задаемся начальным произвольным значением скорости в трубопроводе v₀ с индексом i = 0;

1. Рассчитываем число Рейнольдса и определяем режим движения жидкости в трубопроводе;

2. Рассчитываем коэффициент гидравлического сопротивления трения l₀;

3. По уравнению (5.8) рассчитываем новое значение скорости с индексом i = 1.

Далее пункты 1-3 повторяются с новой начальной скоростью. Итерации проводятся до тех пор, пока первые три значащие цифры скорости не совпадут. Для турбулентного режима движения обычно необходимо провести две - три итерации, для ламинарного режима движения итераций необходимо больше.

Третий тип расчета

Пусть по известным данным необходимо рассчитать диаметр трубопровода. В этом случае уравнения простого трубопровода будет транцентдентным, то есть его нельзя разрешит относительно диаметра так, как диаметр входит в это уравнение в явном виде, но и в неявном виде при определении коэффициента гидравлического сопротивления трения l. В этом случае возможны два метода расчета: метод подбора и метод итераций.

Метод подбора.

В уравнения простого трубопровода все известные слагаемые перенесём в левую часть, а неизвестные в правую:

(5.9)

Рассчитываем численное значение левой части.

Дальнейший порядок расчета следующий:

Задаемся начальным произвольным значением диаметра трубопровода d₀. Начальное значение диаметра очень трудно угадать. Поэтому в первом приближении можно считать, что максимальная скорость в трубопроводе равна v_мах = 5 м/с, тогда по известному расходу можно найти начальную площадь поперечного сечения и диаметр трубопровода:

(5.10)

Рассчитываем число Рейнольдса и определяем режим движения жидкости в трубопроводе;

Рассчитываем коэффициент гидравлического сопротивления трения l;

Рассчитываем правую часть уравнения;

Сравниваем рассчитанную правую часть уравнения и левую. Если правая часть уравнения меньше левой H_прав < H_лев то задаёмся меньшим значением нового диаметра d₁ < d₀, если же правая часть уравнения больше левой H_прав > H_лев то задаёмся большим значением новой скорости нового диаметра d₁ > d₀.

Результаты расчетов удобно поместить в таблицу:

По полученным значениям строим график зависимости правой части уравнения от диаметра. Для построения графика необходимо, как минимум три точки. По известной левой части по графику находим необходимый диаметр.

Метод итераций

В уравнения простого трубопровода выразим скорость через расход:

(5.11)

Найдем из этого уравнения площадь поперечного сечения w. В уравнения простого трубопровода разрешаем относительно диаметра:

(5.12)

Индекс i – номер итерации.

Дальнейший порядок расчета следующий:

Задаемся начальным произвольным значением диаметра трубопровода d₀ с индексом i = 0;

1. Рассчитываем площадь поперечного сечения w_i = p d_i²/4.

2. Рассчитываем среднюю скорость в поперечном сечении v_i = Q/w_i.

3. Рассчитываем число Рейнольдса и определяем режим движения жидкости в трубопроводе;

4. Рассчитываем коэффициент гидравлического сопротивления трения l_i;

5. По уравнению (5.12) рассчитываем новое значение диаметра с индексом i = 1.

Далее пункты 1-5 повторяются с новым начальным диаметром. Итерации проводятся до тех пор, пока первые три значащие цифры диаметра не совпадут. Для турбулентного режима движения обычно необходимо провести две - три итерации, для ламинарного режима движения итераций необходимо больше.

Формула для обоснования ориентировочного значения внутреннего диаметра нефтепровода D₀ [2]:

, (5.13)

где: Q – секундная подача, м³/с;

W – скорость перекачки, м/с.

По ориентировочному значению D принято ближайший стандартный D_н наружный диаметр.

Рисунок 5.1 - Зависимость рекомендуемой скорости перекачки от плановой пропускной способности нефтепровода

Формула Лейбензона. Для точных расчетов лупингов (вставок) используется метод последовательных приближений, изложенный в 5.4.9. Для приближенных расчетов по формулам (5.26)-(5.31) в качестве исходной применяется обобщенная формула Лейбензона [2], которая связывает гидравлический уклон i на участке трубопровода диаметром d с производительностью перекачки Q при заданной вязкости жидкостиn :

, (5.25)

где: b, m – коэффициенты, определяющие характер течения в трубопроводе. Зависят от числа Рейнольдса в трубопроводе и граничного числа Рейнольдса Re₁. На практике при реальных режимах перекачки по стальным трубам для граничного числа Рейнольдса может быть принята приближенная оценка: ; b, m - определяются согласно таблице 5.14.

n – кинематическая вязкость жидкости, м²/с;

Q – производительность перекачки, м³/с;

d – диаметр трубопровода, м.

Таблица 5.14 – Значение коэффициентов b, m формулы Лейбензона