Метод уравнений Кирхгофа

Метод уравнений Кирхгофа является классическим методом. Все остальные методы расчета сложных цепей в той или иной степени основаны на применении законов Кирхгофа. Рассмотрим расчет цепи с помощью уравнений Кирхгофа, если заданы все э.д.с. и сопротивления приемников электрической энергии. Число неизвестных токов равно количеству ветвей в заданной цепи (Р). Поэтому для нахождения токов необходимо составить систему Р—уравнений с Р—неизвестными.

Если цепь имеет q—узлов, то по первому закону Кирхгофа можно составить уравнение. Однако число независимых уравнений будет на единицу меньше, т.е. по первому закону Кирхгофа независимых уравнений можно составить (q-1). Остальные уравнения, число которых равно n=[Р-(q-1)], составляют по второму закону Кирхгофа, порядком изложенным в § 3.

Таким образом, расчёт сложных цепей методом уравнений Кирхгофа можно подразделить на следующие этапы:

а) подсчитать число ветвей Р и число узлов q;

б) произвольно задать направления токов в ветвях и обозначить их стрелками на схеме;

в) выбрать [Р-(q-1)] независимых контуров (с этой целью удобно выбирать простые контуры, т.е. контуры не имеющие внутренних ветвей) и произвольно задать направления обхода контуров;

г) составить (q-1) уравнений по первому закону Кирхгофа и [Р-(q-1)] уравнений по второму закону Кирхгофа для выбранных контуров;

д) решить систему уравнений.

Если в результате расчета токи в каких-либо ветвях получатся со знаком минус, то это означает, что в действительности в этих ветвях токи текут в направлении, противоположном произвольно заданным.

Для проверки правильности расчета составить уравнение баланса мощностей (1.17).

Пример 5. Определить токи в ветвях цепи, изображенной на рис. 25.

Рис. 25

Дано: =8 B; ==2 B; = =6 Oм; ==4 Oм; ==3Oм; ==1 Ом.

Решение. Заданная цепь состоит из 3-x ветвей (Р=3) и двух узлов (q=2). Необходимо составить три уравнения, из них одно уравнение по первому и два уравнения по второму законам Кирхгофа. Произвольно выбранные направления токов в ветвях и направления обхода контуров показаны на схеме стрелками.

Составим уравнения:

—по первому закон у Кирхгофа: =0;

—по второму закону Кирхгофа для контура ad cb:

для контура bc fс:

Таким образом, имеем систему уравнений:

Вычислим определители и найдем точки в ветвях:

Знак минус для тока означает, что направление тока в третьей ветви противоположно выбранному (на рис. 25 действительное направление тока показано пунктирной стрелкой) для проверки правильности расчета составим уравнение баланса мощностей