Непараметрические показатели связи. Ранговые коэффициенты.

В анализе социально-экономических явлений часто приходится прибегать к различным условным оценкам с помощью рангов, а взаимосвязь между отдельными признаками измерять с помощью непараметрических коэффициентов связи.

Ранжирование –это процедура упорядочения объектов изучения, которая выполняется на основе предпочтения.

Ранг– это порядковый номер значений признака, расположенных в порядке возрастания или убывания их величин. Если отдельные значения признака имеют одинаковую количественную оценку, то ранг всех этих значений принимается равным средней арифметической от соответствующих номеров мест, которые определяют. Данные ранги называются связными.

Среди непараметрических методов оценки тесноты связи наибольшее значение имеют ранговые коэффициенты Спирмена и Кендалла. Эти коэффициенты могут быть использованы для определения тесноты связи как между количественными, так и между качественными признаками при условии, если их значения будут упорядочены или проранжированы по степени убывания или возрастания признака.

Коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена) рассчитывается по формуле (для случая, когда нет связных рангов):

где d² - квадраты разности рангов;

n – число наблюдений (число рангов).

Коэффициент Спирмена принимает любые значения в интервале [-1; 1]. Значимость коэффициента корреляции рангов Спирмена проверяется на основе t-критерия Стьюдента. Расчетное значение критерия определяется по формуле:

Значение коэффициента корреляции считается статистически существенным, если tp > tkp (α; k = n – 2).

Если между признаками Х и У предполагается нелинейная зависимость, то оценку тесноты связи можно получить посредством коэффициента Кендалла. Ранговый коэффициент корреляции Кендалламожет также использоваться для измерения взаимосвязи между качественными и количественными признаками, характеризующими однородные объекты и ранжированные по одному принципу. Расчет рангового коэффициента Кендалла осуществляется по формуле

где n – число наблюдений;

S – сумма разностей между числом последовательностей и числом инверсий по второму признаку (S = P – Q).

Расчет данного коэффициента выполняется в следующей последовательности:

1) значения х ранжируются в порядке возрастания или убывания;

2) значения урасполагаются в порядке, соответствующем значениям х;

3) для каждого ранга у определяется число следующих за ним значений рангов, превышающих его величину. Суммируя таким образом числа, определяют величину Р как меру соответствия последовательностей рангов по х и у. Она учитывается со знаком «плюс»;

4) для каждого ранга у определяется число следующих за ним рангов, меньших его величины. Суммарная величина обозначается Q и фиксируется со знаком «минус»;

5) определяется сумма баллов по всем членам ряда.

Связь между признаками можно признать статистически значимой, если значения коэффициентов ранговой корреляции Спирмена и Кендалла больше 0,5.

Для определения тесноты связи между произвольным числом ранжированных признаков применяется множественный коэффициент ранговой корреляции (коэффициент конкордации) W, который вычисляется по формуле

где m – количество факторов;

n – число наблюдений;

S – сумма квадратов отклонений суммы рангов по т факторам от их средней

арифметической, т.е.

а) или, что по значению то же самое,

б) , где Ri – ранг i-го показателя.

Коэффициент конкордации часто используется в экспертных оценках для определения согласованности мнения т экспертов в распределении мест (рангов) между п исследуемыми факторами или объектами по их приоритетности.

[1] Ранжированный ряд – ряд, расположенный в порядке возрастания или убывания значений признака.