Расчёт цепи постоянного тока методом обратной матрицы

Пусть дана электрическая цепь (рис. 3.12), состоящая из трёх вет-

вей. Известны величины ЭДС источников:

E1 = 10 В ,

E2 = 5 В ,

E3 = 3 В

и сопротивлений в каждой ветви:

R1 =1 Ом ,

R2 = 2 Ом ,

R3 = 4 Ом .

Необходимо определить токи, протекающие в каждой ветви.

R1

I1 I2

R2

R3

E1 E2 E3

Рис. 3.12. Цепь постоянного тока

Для трёх неизвестных токов I1, I2, I3 составим систему из трёх уравнений согласно первому и второму законам Кирхгофа

⎧E = I ⋅R + I ⋅R + E

⎪ 1 1 1 2 2 2

= ⋅ + ⋅ + (3.18)

⎨E1

I1 R1

I3 R3 E3

и преобразуем её следующим образом

⎧I1 ⋅R1 + I2 ⋅R2 + I3 ⋅0 = E1 − E2

⎪I ⋅R + I

⋅0 + I ⋅R

= E− E

. (3.19)

⎨ 1 1 2 3 3 1 3

Подставим в (3.19) численные данные и получим матрицу коэф-

фициентов

⎡R1 R2

0 ⎤ ⎡1 2 0 ⎤

A= ⎢R

0 R⎥ = ⎢1 0 4 ⎥

(3.20)

⎢ 1 3 ⎥ ⎢ ⎥

⎢⎣ 1 −1

и матрицу свободных членов

−1⎥⎦

⎢⎣1

−1 −1⎥⎦

⎡E1 − E2 ⎤

⎡10 − 5⎤ ⎡5⎤

⎣⎢ 0

⎦⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦

⎢⎣0⎥⎦

Решение системы уравнений (3.18) найдём как

⎡I1 ⎤

⎥ = A−1 B .

(3.22)

Матрицу коэффициентов (3.20) внесём в массив A1-C3, а матрицу свободных членов (3.21) внесём в массив E1-E3 (рис. 3.13).

Рис. 3.13

Обратную матрицу от матрицы коэффициентов разместим в мас- сиве G1-I3. Вызовем мастер функций и в категории «Математические» выберем «МОБР» (рис. 3.14).

Рис. 3.14

В окне «Аргументы функции» введём адрес источника данных

A1:C3 (рис. 3.15).

Рис. 3.15

В справке программы Excel по этой функции сказано, что форму- лу необходимо ввести как формулу массива. Нажмите клавишу F2, а за- тем нажмите клавиши <CTRL>+<SHIFT>+<ENTER>. Если формула не будет введена как формула массива, единственное значение будет равно

0,285714. В результате получим обратную матрицу (рис. 3.16).

Рис. 3.16

Умножим обратную матрицу,

размещённую в ячейках G1-I3, на

матрицу свободных членов, размещённую в ячейках E1-E3. Для этого выделим массив ячеек результата F14-F16, вызовем с помощью мастера функций функцию «МУМНОЖ» из категории «Математические» (рис.

3.17).

рис. 3.17

В опции «Аргументы массива» введём адрес первого массива G1- I3 и адрес второго массива E1-E3 (рис. 3.18). Нажмите клавишу F2, а за- тем нажмите клавиши <CTRL>+<SHIFT>+<ENTER>.

Рис. 3.18

Полученный результат (рис. 3.19)

⎡I1 ⎤

⎡2,428571⎤

(3.23)

⎢⎣I3 ⎥⎦

⎢⎣1,142857⎥⎦

размещённый в ячейках F14-F15, является истинным, так как выполня-

ется первый закон Кирхгофа – третье уравнение системы (3.18).

Рис. 3.19

Проверку полученного результата можно выполнить и по первому и второму уравнениям системы (3.18).