Кратность резервирования и основные расчетные формулы

Кратность резервирования является основным параметром резервирования, определяемым как m/n – отношение числа резервных цепей к числу основных (резервируемых).

Как указано ранее (п. 6.1), различают резервирование с целой и дробной кратностью. При резервировании с целой кратностью величина m рассматривается как целое число; при резервировании с дробной кратностью величина m представляется в виде несокращаемой дроби. Например, m = ⁴/₂ означает, что имеется резервирование с дробной кратностью, при котором число резервных элементов равно четырем, число основных – двум, а общее их число равно шести. Дробь не сокращается, так как если m = ⁴/₂ = 2, то это означает наличие резервирования с целой кратностью, равной двум, при общем числе элементов, равном трем.

Резервирование по способу включения может быть постоянным или резервированием замещением.

При постоянном резервировании резервные элементы подключены к основным в течение всего времени работы и работают в одинаковом с ними
режиме.

При резервировании замещением резервные элементы замещают основные после их отказа.

Включение резерва по способу замещения свидетельствует о том, что резервные элементы до момента включения их в работу могут находиться в трех состояниях:

– нагруженном резерве;

– облегченном резерве;

– ненагруженном резерве.

Для известных методов резервирования используются следующие расчётные формулы.

1. Для общего резервирования с постоянно включенным (нагруженным) резервом и с целой кратностью (рис. 6.1, а):

, (6.1)

где p_i(t) – вероятность безотказной работы i-го элемента в течение времени t;

n – число элементов основной или любой резервной цепи.

Кратность резервирования m/n – отношение числа резервных цепей к числу основных (резервируемых). Дробь не сокращается.

При экспоненциальном законе надежности, когда

,

,(6.2)

,

где – интенсивность отказов нерезервированной системы или любой из m резервных систем; T_cp.0 – среднее время безотказной работы нерезервированной системы или любой из т резервных систем.

При резервировании неравнонадежных изделий

,(6.3)

где q_i(t), p_i(t) – вероятность отказов и вероятность безотказной работы в течение времени t i-го изделия соответственно.

2. Раздельное резервирование с постоянно включенным резервом и с целой кратностью (рис. 6.1, б):

,(6.4)

где p_i(t) – вероятность безотказной работы i-го эле­мента;

m_i – (кратность резервирования i-го элемента;

n – число элементов основной системы.

Приэкспоненциальном законе надежности, когда ,

. (6.5)

При равнонадежных элементах и одинаковой кратности их резервиро­вания

, (6.6)

,(6.7)

гдеν_i= (i+1) / (m + 1).

3. Общее резервирование замещением с целой крат­ностью (рис. 6.1, в):

, (6.8)

где P_m+1(t), P_m(t) – вероятности безотказной работы резервированной системы кратности m + 1 и m соответ­ственно; P(t – τ) – вероятность безотказной работы ос­новной системы в течение времени (t – τ); а_m(τ)– час­тота отказов резервированной системы кратности m в момент времени τ.

Формула (6.8) позволяет получить рас­четные соотношения для устройств любой кратности ре­зервирования.Для получения таких формул необходимо выполнить интегрирование в правой части, подставив вместо P(t – τ) и a_m(τ) их значения в соответствии с выбранным законом распределения и состоянием ре­зерва.

При экспоненциальном законе надежности иненагруженном состоянии резерва

(6.9)

(6.10)

где λ₀, Т_ср.0 — интенсивность отказов и средняя наработ­ка до первого отказа основного (нерезервированного) устройства.

При экспоненциальном законе инедогруженном со­стоянии резерва

,(6.11)

(6.12)

где ; ; λ₁ – интенсивность отказов резервного устройства до замещения.

При нагруженном состоянии резерва формулы для Р_с(t)и Т_ср.ссовпадают с (6.2).

4. Раздельное резервирование замещением с целой кратностью (рис. 6.1, г):

, (6.13)

где p_i(t) – вероятность безотказной работы системы из-за отказов элементов i-го типа, резервированных по способу замещения. Вычисляется p_i(t)по формулам общего резервирования замещением (формулы (6.8),(6.9), (6.11)).

5. Общее резервирование с дробной кратностью и по­стоянно включенным резервом (рис. 6.1, д):

, (6.14)

, (6.15)

где p₀(t)– вероятность безотказной работы основного или любого резервного элемента;

l – общее число основных и резервных систем;

h – число систем, необходимых для нормальной работы резервированной системы.

В данном случае кратность резервирования

m = (l – h)/h. (6.16)

6. Скользящее резервирование:

dτ, (6.17)

где τ^I = τ + τ₁; τ^II = τ + τ₁+ τ₂…; = τ + τ₁+…+ ; n – число элементов основной системы; m₀– чис­ло резервных элементов; p(t – t_i) – вероятность безотказ­ной работы одного элемента в течение времени (t – t_i);

, , ; a(τ_i) – частота отказов одного из основных элементов в момент времени τ_i, τ₁, … .

При экспоненциальном законе надежности

; (6.18)

Т_ср.с = Т_ср.0(m₀ + 1),

где λ₀= nλ – интенсивность отказов нерезервированной системы; λ– интенсивность отказов элемента; n – число элементов основной системы; T_cp.0 – среднее время безотказной работы нерезервированной системы; m₀ – число резервных элементов. В этом случае кратность резервирования

m = m₀ /n. (6.19)

Приведенные выше формулы (кроме (6.8), (6.11), (6.12)) могут быть использованы только в тех случаях, когда справедливо допущение об отсутствии последствий отказов.

Последствия отказов проявляются практически всегда при постоянном включении резерва, а также в случае резервирования замещением при недогруженном состоянии резерва.

Выражение (6.8) является основным при получении расчетных формул в случае учета влияния последействия отказов. При этом члены p(t – τ) и а_m(τ) должны быть записаны с учетом последствий отказов, вида резервирования и его кратности.

Элементы резервированных устройств в ряде случаев могут иметь два вида отказов – «обрыв» и «короткое замыкание». В этом случае вычислять вероятность безотказной работы следует, суммируя вероятности всех благоприятных (не приводящих к отказу) гипотез, т. е.

, (6.20)

где p_j(t) – вероятность j-й благоприятной гипотезы, вычисленной с учетом двух видов отказав; k – число благоприятных гипотез.

При вычислениях p_j(t) следует иметь в виду, что для элементов сложной системы справедливы выражения

,φ₀ + φ_з= 1, (6.21)

где l(t) – интенсивность отказов элемента; φ₀, φ_з– вероятность возникновения «обрыва» и «короткого замыкания» соответственно.

При экспоненциальном законе надежности

p(t)=e^-λt, , , (6.22)

где λ₀, λ₃ – интенсивность отказов элемента по «обрыву» и «короткому замыканию» соответственно.

Остальные количественные характеристики надежности в случае необходимости вычисляются через P_c(t) по известным аналитическим зависимостям, приведенным в главе 1.

Расчет надежности резервированных систем иногда полезно выполнять, используя схему «гибели» («чистого размножения»). В соответствии с этой схемой преобразование Лапласа вероятности возникновения п отказов вычисляется по формуле

. (6.23)

При неравных корнях знаменателя обратное преобразование Лапласа P_n(s) будет

. (6.24)

В формулах (6.23) и (6.24) приняты обозначения: λ₀ – интенсивность отказов системы до выхода из строя первого элемента; λ₁– интенсивность отказов системы в промежутке времени от момента отказа первого элемента до второго; λ₂ – интенсивность отказов системы в промежутке времени от момента отказа второго эле­мента до третьего и т. д.; п – число отказавших элементов; s_k= –λ_h – k-й корень знаменателя выражения (6.23); B'(s_k) – производная знаменателя в точке s_k .

При одинаковых опасностях отказов λ_i, т. е. λ₀= λ₁= λ₂ =…=λ_n, расчетные формулы имеют вид:

,

. (6.25)

При расчетах надежности по формулам (6.23)–(6.25) следует помнить, что они не определяют вероятности безотказной работы (или вероятности отказа) резервированной системы, а определяют лишь вероятность i-го состояния системы, т е. вероятность того, что в системе откажут п элементов. Для вычисления вероятности безотказной работы следует находить вероятности
0, 1, ..., n отказов, когда система еще находится в работоспособном состоянии (исправна), и суммировать полученные вероятности.

Среднее время безотказной работы системы при использовании схемы «гибели» вычисляется по формуле

, (6.26)

где λ_i – интенсивность отказов системы до выхода из строя i-го элемента.

При схемной реализации резервирования в ряде случаев конкретные технические решения не приводятся к логическим схемам расчёта надёжности (рис. 5.1, 5.2, 5.4, 5.5).

В таких случаях необходимо с целью получения аналитических выражений для количественных характеристик надежности использовать метод перебора благоприятных гипотез. Вероятность безотказной работы при этом вычисляется по выражению (6.20).

При анализе надежности резервированных устройств на этапе проектирования приходится сравнивать различные схемные решения. В этом случае за критерий качества резервирования принимается выигрыш надежности.

Выигрышем надежности называется отношение количественной характеристики надежности резервированного устройства к той же количественной характе­ристике нерезервированного устройства или устройства с другим видом резервирования.

Наиболее часто используются следующие критерии качества резервированных устройств: G₀(t) i – выигрыш надежности в течениевремени t по вероятности отказов; G₀(t) – выигрыш надежности в течение времени t по вероятности безотказной работы; G_T – выигрыш надежности по среднему времени безотказной работы.

При резервировании элементов электроники (резисторов, конденсаторов, контактов реле, диодов и т. п.) всегда произведение интенсивности отказов элемента и времени его работы значительно меньше единицы, т. е. λt 1, поэтому при вычислении G_q(t) и G_q(p) целесообразно функции вида e^-kλt (экспоненциальный случай) разложить в ряд:

(при небольшом k).

Если система исправна при отказе тэлементов, то необходимо брать не менее чем m + 2 членов разложения.

Пример 6.1.Дана система, схема расчета надежности которой изображена на рис. 6.2. Необходимо найти вероятность безотказной работы системы при известных вероятностях безотказной работы ее элементов (значе­ния вероятностей указаны на рисунке).

Рис. 6.2. Схема расчета надежности

Решение. На рис. 6.2 видно, что система состоит из двух (I и II) неравнонадежных устройств.

Устройство I состоит из четырех узлов: а – дублированного узла с постоянно включенным резервом, причем каждая часть узла состоит из трех последовательно соединенных (в смысле надежности) элементов расчета; б – дублированного узла по способу замещения; в – узла с одним нерезервированным элементом; г – резервированного узла с кратностью m = ¹/₂ (схе­ма группиро­вания).

Устройство II представляет собой нерезервированное устройство, надежность которого известна.

Так как оба устройства неравнонадежны, то на осно­вании формулы (6.3) имеем

Определяется вероятность p_I(t). Вероятность безотказной работы устройства I равна произведению вероятностей безотказной работы всех узлов, т. е.

p_I(t) = р_а р_б р_в р_г.

В узле а число элементов основной и резервной цепи n = 3, а кратность резервирования т = 1. Тогда на осно­вании формулы (6.1)

В узле б кратность общего резервирования замеще­нием т=1, тогда на основании формулы (6.9) получается:

.

В узле г применено резервирование с дробной крат­ностью, когда общее число основных и резервных систем l = 3,число систем, необходимых для нормальной ра­боты, h = 2.

Тогда на основании формулы (6.14) вероятность безотказной работы устройства I будет

р_х = р_а р_б р_в р = 0,93 · 0,99 · 0,97 · 0,972 ≈ 0,868,

а вероятность безотказной работы резервирован­ной системы будет

P₀ = l – (l – p_I) (1– р_II) –1– (1 – 0,868) (1– 0,9) = 0,987.

Пример 6.2. Вероятность безотказной работы преоб­разователя постоянного тока в переменный в течение t = 1000 ч равна 0,95, т. е. Р (1000) = 0,95. Для повышения надежности системы электроснабжения на объек­те имеется такой же преобразователь, который включа­ется в работу при отказе первого. Требуется рассчитать вероятность безотказной работы и среднюю наработку до первого отказа системы, состоящей из двух преобра­зователей, а также построить зависимости от времени частоты отказов f_c(t)и интенсивности отказов l_c(t) си­стемы.

Решение. Из условия задачи видно, что имеет ме­сто общее резервирование замещением кратности т = 1. Тогда на основании формулы (6.9) полу­чается

.

Из условия задачи = 0,95, тогда λ₀(t) ≈ 0,05. Под­становка значения Р(1000) и значения λ₀(t)в выражение для Р_с (t) позволяет получить

.

Средняя наработка до первого отказа системы на основании формулы (6.10)

.

Так как в течение времени t = 1000 чи λ₀t = 0,05, то = 0,5·10^–4 ч^–1,а средняя наработка до первого отказа нерезервированного преобразова­теля = 20 000 ч.

Тогда средняя наработка до первого отказа резерви­рованной системы Т_ср.с = 2 Т_ср.0 = 40 000 ч.

Для построения графиков f_c(t) и λ_c(t) находятся ана­литические выражения этих функций по известной вероятности безотказной работы системы:

,

.

Графики f_c(t)и λ_c(t) приведены на рис. 6.3.

Рис. 6.3. Зависимость f_с и λ_cот t

Количественно повышение надежности системы в результате резервирования или применения высоконадежных элементов можно оценить по коэффициенту выигрыша надежности, определяемому как отношение показателя надежности до и после преобразования системы. Например, для системы из n последовательно соединенных элементов после резервирования одного из элементов (k-го) аналогичным по надежности элементом коэффициент выигрыша надежности по вероятности безотказной работы составит:

, (6.27)

где Р^' – вероятность безотказной работы резервированной системы;

Р –вероятность безотказной работы нерезервированной системы.

Из формулы (6.27) следует, что эффективность резервирования (или другого приема повышения надежности) тем больше, чем меньше надежность резервируемого элемента (при , при ).

Следовательно, при структурном резервировании наибольшего эффекта можно добиться при резервировании самых ненадежных элементов (или групп элементов).

В общем случае при выборе элемента (или группы элементов) для повышения надежности или резервирования необходимо исходить из условия обеспечения при этом наилучшего результата.