Первый интеграл и его свойства

Для моделей, представленных системой однородных дифференциальных уравнений

(5.12)

вводится понятие первого интеграла.

Первым интегралом системы (5.12) называют функцию , определенную и непрерывную вместе со своими частными производными, если при подстановке в нее произвольного решения получается постоянная относительно времени величина. Такая функция является инвариантом во времени. Неизменность первых интегралов во времени порождается различными законами сохранения, зависящими от координаты и ее первой производной.

Исходя из определения , эта функция должна удовлетворять условию:

. (5.13)

Примером первого интеграла является гамильтониан (3.23) для консервативных систем, свидетельствующий о сохранении полной энергии такой системы.

У системы может быть несколько независимых первых интегралов, но не больше . Количество же зависимых первых интегралов неограниченно.

Первые интегралы используются, во-первых, для понижения порядка системы дифференциальных уравнений. Во-вторых, с помощью первых интегралов существенно повышают точность решений, если известно, что движение системы принадлежит первому интегралу.

В общем случае нахождение первых интегралов представляет собой непростую задачу. Проще решается обратная задача – конструирование желаемых первых интегралов за счет выбора подходящего управления.

Средством получения первых интегралов является уравнение (5.13), а также теорема Якоби-Пуассона, на основе которой формируются новые первые интегралы.

5.7. Представление моделей в форме системы
дифференциальных уравнений различных порядков

В достаточно общем виде модель второго ранга неопределенности может быть представлена системой в неявной форме записи:

(5.14)

где – физические переменные системы и их производные, включая как внутренние, так и выходные переменные; , – внешние воздействия, приложенные к системе, и их производные, включая задающие, возмущающие и управляющие воздействия.

В случае решения задачи Коши задают временной интервал работы системы и начальные условия:

,

Для некоторых переменных и воздействий описание может не содержать их производных, так что . При этом отдельные уравнения будут не дифференциальными, а конечными. Приведенное описание соответствует представлению модели в терминах «вхо-выход».

Общий порядок системы определяется суммой порядков старших производных каждой переменной, т.е. .

Модели вида (5.14) обычно имеют место на стадии первичного описания. При переходе же к стадии компьютерного моделирования эти модели требуется преобразовывать к той форме, для которой существуют процедуры численного интегрирования. В большинстве случаев такой формой является нормальная форма Коши. Для нее разработаны численные методы и процедуры, реализованные в известных математических пакетах. Поэтому исследователю необходимо уметь переходить от формы (5.14) к нормальной форме.

Переход от дифференциального уравнения высокого порядка к системе уравнений первого порядка.Без потери в общности рассмотрим частный случай (5.14), зависящий только от одной переменной и одного внешнего воздействия:

. (5.15)

Применяют разные способы перехода. Рассмотрим два таких способа на примере линейного стационарного уравнения го порядка (здесь роль выполняют переменные соответственно:

. (5.16)

В физически реализуемых звеньях .

Первый способ. Если правая часть уравнения не содержит производных входного сигнала либо они известны из других уравнений (когда – выход другого звена структурной схемы), то для (5.16) переход производится с помощью алгоритма

(5.17)

Так, для случая n=2, m=1 эквивалентная система имеет вид:

Для (5.15) необходимо предварительно выразить старшую производную (такие уравнения называют разрешенными относительно старшей производной:

. (5.18)

При таком способе перехода в системе остаются производные входного воздействия, которые во многих случаях неизвестны (когда – возмущающее воздействие) либо не существуют (например, в моменты скачков ступенчатого воздействия). Достоинство же метода в том, что он, в принципе, применим к любым системам вида (5.14), (5.15), если они разрешимы относительно старшей производной.

Для линейных стационарных систем используется другой способ перехода к нормальной системе, так называемой канонической ее форме.

Второй способ (переход к канонической форме). Алгоритм перехода к канонической форме следующий:

. (5.19)

Здесь предполагается, что , а для всех коэффициенты .

Для рассматриваемого случая каноническая система имеет вид