Пример составления математической модели задачи

Пример №1.1. Составить математическую модель задачи.

Для производства компьютерных столов I-го и II-го видов требуются три типа ресурсов: дерево, пластик и трудозатраты. Потребности в ресурсах для производства одного стола каждого вида, запасы ресурсов, а также прибыль от реализации одного стола каждого вида, заданы в таблице 1.1.:

Таблица 1.1. – Исходные данные

Необходимо найти план выпуска продукции, позволяющий получить наибольшую прибыль.

Решение.

Пусть x₁ и x₂ – количество продукции I-го и II-го вида соответственно.

Тогда условия – ограничения для каждого вида продукции составляются следующим образом: т.к. план выпуска продукции необходимо составлять в пределах имеющегося запаса ресурса, то расход каждого типа ресурса должен быть не более установленного предела, либо строго этот предел.

Поэтому:

условие – ограничение по дереву имеет вид:

,

условие – ограничение по пластику:

,

условие – ограничение по трудозатратам:

.

Кроме того, переменные x₁, x₂ должны быть больше или равны нулю:

.

Прибыль при реализации продукции составит:

(руб).

Т.к. прибыль должна быть максимальной, то необходимо найти максимум функции цели .

Ответ.

Математическая модель задачи имеет вид:

После расчета данной математической модели (ее решения) определяются значения x₁, x₂, удовлетворяющие системе ограничений и доставляющие максимум функции цели, т.е. рассчитывается количество производимой продукции каждого вида, необходимое для получения максимальной прибыли в условиях заданных запасов ресурсов.

Пример №1.2. Составить математическую модель задачи.

Фабрика производит два вида мыла: хозяйственное и туалетное. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства мыла используются два ингредиента – А и В. Максимально возможные суточные запасы этих ингредиентов составляют 6 т и 8 т соответственно. Известны расходы ингридиентов А и В на 1 т соответствующих видов мыла (табл. 1.2.). Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на туалетное мыло никогда не превышает спроса на хозяйственное мыло более, чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на туалетное мыло никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовая цена одной тонны хозяйственного мыла равна 3 тыс. руб., а одной тонны туалетного мыла – 2 тыс. руб.

Таблица 1.2. – Исходные данные

Необходимо построить математическую модель, позволяющую установить, какое количество мыла каждого вида надо производить, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

Решение.

Пусть x₁ – количество хозяйственного мыла,

x₂ – количество туалетного мыла.

Запись условий – ограничений:

для ингредиента А в условиях запаса:

(т ингр.А/сутки),

для ингредиента В в условиях запаса:

(т ингр.В/сутки),

суточный спрос обоих ингредиентов:

(т мыла/сутки),

суточный спрос туалетного мыла:

(т мыла/сутки).

Переменные x₁, x₂ должны быть больше или равны нулю:

.

Формирование функции цели:

доход от реализации продукции составит:

(руб. /сутки).

Ответ.

Математическая модель задачи имеет вид: