Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая вероятность

Классическое определение вероятности предпо­лагает, что число элементарных исходов испытания ко­нечно. На практике же весьма часто встречаются испы­тания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. Уже это обстоятельство указывает на ограниченность классического определения. Отмеченный недостаток может быть преодолен, в частности, введением геометрических вероятностей (см. § 8) и, конечно, использованием аксио­матической вероятности (см. § 3, замечание).

Наиболее слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания говорят из соображений симметрии. Так, например, пред­полагают, что игральная кость имеет форму правильного многогранника (куба) и изготовлена из однородного мате­риала. Однако задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются весьма редко. По этой причине наряду с классическим опреде­лением вероятности используют и другие определения, в частности статистическое определение: в качестве ста­тистической вероятности события принимают относи­тельную частоту или число, близкое к ней. Например, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что относительная частота весьма близка к числу 0,4, то это число можно принять за статистиче­скую вероятность события.

Легко проверить, что свойства вероятности, вытекаю­щие из классического определения (см. § 3), сохраняются и при статистическом определении вероятности. Действительно, если событие достоверно, то m = nи относитель­ная частота

,

т. е. статистическая вероятность достоверного события (так же как и в случае классического определения) равна единице.

Если событие невозможно, то m = 0 и, следовательно, относительная частота

,

т. е. статистическая вероятность невозможного события равна нулю.

Для любого события и, следовательно, относительная частота

,

т. е. статистическая вероятность любого события заключена между нулём и единицей.

Для существования статистической вероятности события А требуется:

а) возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченное число испытаний, в каждом из которых событие А наступает или не наступает;

б) устойчивость относительных частот появления А и различных сериях достаточно большого числа испытаний.

Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности; так, в приведённом примере в качестве вероятности события можно принять не только 0,4, но и 0,39; 0,41 и т. д.