Оценка существенности влияния двух факторов и их взаимодействия на показатели маркетинга

Модель двухфакторного дисперсионного анализа имеет вид

, (2.7)

где у_ijk – значение признака у, когда фактор А находится на i-м уровне, фактор В – на j-м уровне при k-м повторении опыта; μ – среднее значение признака по результатам всех опытов; А_i – влияние на изменчивость признака фактора А, когда он находится на i-м уровне (эффект фактора А); В_j – эффект фактора В; А_iВ_j – эффект взаимодействия факторов А и В, когда фактор А находится на i-м уровне, а фактор В – на j-м уровне; ε_ijk – эффект ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов.

В случае двухфакторного дисперсионного анализа полная дисперсия, обуславливающая изменчивость признака в серии опытов, дифференцируется на составляющие ее дисперсии, обусловленные варьированием независимых случайных переменных (факторов), ошибкой эксперимента и действием неучтенных факторов.

Пример 1. Оценить существенность влияния двух факторов (А – местонахождение пункта продаж автомобилей, В – время, месяц, год) на формирование цены подержанных легковых автомобилей. Данные приведены в табл. 16.

Решение. Вычисляют оценки математических ожиданий и дисперсий по группам наблюдений:

(2.8)

Оценка математического ожидания признака – цены подержанного легкового автомобиля, когда факторы А и В находятся на первом уровне (первый уровень фактора А – местонахождение пункта продаж – Минск, первый уровень фактора В – ноябрь 2000 г.)

Оценка дисперсии

Оценка математического ожидания цены подержанного легкового автомобиля, когда местонахождение пункта продаж – Минск (первый уровень фактора А), а событие происходит в июле 2001 г. (второй уровень фактора В)

Оценка дисперсии цены

Оценка математического ожидания цены, когда местонахождения пункта продаж – Москва (второй уровень фактора А), а распродажа осуществлялась в ноябре 2000 г. (первый уровень фактора В)

Оценка дисперсии цены

Оценка математического ожидания цены, когда факторы А и В находятся на втором уровне (пункт продажи – Москва, событие совершалось в июле 2001 г.)

Оценка дисперсии

Проверка однородности оценок дисперсий осуществляется с помощью критерия Кокрена, вычисляется значение G-статистики:

Поскольку при уровне значимости α = 0,05, четырех независимых оценках дисперсий (k = 4) и равных числах степеней свободы оценок дисперсий f = 3 критическое значение G_кр(0,05;4;3) = = 0,7814 > G_набл.= 0,287 (табл. 11 приложения), то гипотеза об однородности оценок дисперсий не отвергается. Дисперсионный анализ можно проводить, так как с достаточно высоким уровнем доверительной вероятности можно предположить, что неучтенные факторы и ошибка эксперимента существенно не повлияли на цену подержанных легковых автомобилей ни в Минске, ни в Москве, ни осенью, ни летом.

Таблица 16
Влияние фактора А – местонахождения пункта продаж и фактора В – времени года на цены подержанных легковых автомобилей

Уровень, сумма фактора В	Уровень фактора А
	5,0	6,8
3,1	4,1
2,3	5,0
4,1	5,1
Σ1у	14,5		35,5	35,52 = 1260,25
(Σ1у)2	210,25				170,77
	5,3	7,2
2,8	4,2
3,4	5,4
3,8	5,4
Σ2у	15,3	22,2	37,5	37,52 = 1406,25
(Σ2у)2	234,09	492,84			189,73
	29,8	43,2	73,0
	888,04	1866,24		2666,50 2754,28
	118,64	241,86			360,5
	m*11=3,625 D*11=1,39	M*12= 5,25 D*12= 1,27
	m*21=3,825 D*21=1,14	M*22= 5,55 D*22= 1,53

Вычисление сумм, представленных в табл. 16, производилось следующим образом.

Суммы для первого уровня фактора В:

Σ₁₁у = 5,0 + …+ 4,1 = 14,5; Σ₁₂у = 6,8+ … + 5,1 = 21;

; ;

(Σ₁₁у)² = 14,5² = 210,25; (Σ₁₂у)² = 21² = 441;

Суммы для второго уровня фактора В:

Σ₂₁ у = 5,3 + … + 3,8 = 15,3; Σ₂₂ у = 7,2 + …+ 5,4 = 22,2;

; ;

(Σ₂₁ у)² = 15,3² = 234,09; (Σ₂₂ у)² = 22,2² = 492,84;

;

Далее рассчитаем суммы по уровням фактора А:

;

Сделаем промежуточную проверку

т. е. 29,8 + 43,2 = 35,5 + 37,5 = 73.

; ; ; ; ;

;

;

Последняя сумма дает проверку правильности вычислений, так как должно иметь место равенство

Считаем суммы, входящие в формулы для определения суммарных квадратов:

; ;

;

;

Полный суммарный квадрат

=

Суммарный квадрат, характеризующий эффект фактора В – времени года,

=

Суммарный квадрат, характеризующий эффект фактора А – местонахождения пункта продаж,

Суммарный квадрат эффекта взаимодействия

;

Суммарный квадрат, характеризующий ошибку эксперимента и действие неучтенных факторов,

;

Оценки дисперсий, соответствующие суммарным квадратам,

; (2.9)

где f – число степеней свободы дисперсии.

При общем числе наблюдений

N = abn = 2·2·4 = 16,

здесь а – число уровней фактора А, а = 2; b – число уровней фактора В, b = 2; n – число повторений опытов на каждом уровне, n = 4.

f₀ = N – 1 = 16 – 1 = 15; f₁= b – 1 = 2 – 1 = 1;

f₂ = a – 1 = 2 – 1 = 1; f₃ = (b – 1)(a – 1) = (2 – 1)(2 – 1) = 1;

f₄ = ab(n – 1) = 2·2(4 – 1) = 12.

Оценки полной дисперсии и дисперсий, характеризующих изменчивость признака по всем наблюдениям,

; ; ;

;

Существенность оценок дисперсий проверяют на фоне ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов при нулевой гипотезе Н₀: S²(y) > S²₄ (y) и конкурирующей Н₁: S² ≤ S²₄(y), используя критерий Фишера:

,

т. е. нуль-гипотезу отвергают при уровне значимости α = 0,05 и числах степеней свободы f₁ = 1 и f₄ = 12, принимается конкурирующая гипотеза (фактор времени года незначим).

т. е. фактор местонахождения пункта продажи автомобилей существенно влияет на цену.

т. е. эффект взаимодействия факторов (местонахождения пункта продаж автомобилей и времени года) незначим.

Пример 2. Оценить наличие динамики роста продаж колбасных изделий (фактор А) за счет совершенствования этой сферы маркетинга и влияние разновидности колбасы (фактор В) на объем продаж (тыс. кг) в 2000 г. (табл. 17).

Уровни фактора А: 1. Январь, февраль, март; 2. Октябрь, ноябрь, декабрь; уровни фактора В: 1. Вареные колбасы; 2. Сардельки. Округленные данные взяты из источника [18].

Таблица 17
Исходные данные и расчет показателей для определения существенности факторов и их взаимодействий

Уровень фактора В	Уровень фактора А
	40,5	67,6
40,2	67,3
43,6	73,8
	124,3	208,7
	15450,5	43555,7			19702,7
	5,6	10,0
6,1	10,6
7,0	10,1
	18,7	30,7	49,4	2440,4
	349,7	942,5			432,0
	143,0	239,4	382,4
		57312,4		113329,4 77761,4
	5274,8	14859,9			20134,7

Решение. Выполним проверку однородности оценок дисперсий по уровням факторов с помощью критерия Кокрена, для этого определим оценки параметров для соответствующих выборок по табл. 18.

Таблица 18
Параметры выборок по уровням факторов

Рассчитаем суммы для первого уровня фактора В:

Σ₁₁y = 40,5 + 40,2 + 43,6 =124,3; Σ₁₂y = 67,6 + 67,3 + 73,8 = 208,7;

(Σ₁₁y)² = 124,3² = 15450,5; (Σ₁₂y)² = 208,7² = 43555,7;

Рассчитаем суммы для второго уровня фактора В:

Σ₂₁y = 5,6 + 6,1 + 7,0 = 18,7; Σ₂₂y = 10,0 + 10,6 + 10,1 = 30,7;

(Σ₂₁y)² = 18,7² = 349,7; (Σ₂₂y)² = 30,7² = 942,5;

Рассчитаем суммы по уровням фактора А:

;

По формуле (1.20) вычисляем значение G-статистики:

G_набл = 13,46 / (3,54 + 0,503 + 13,46 + 0,103) = 0,764 < G_кр (0,05; 4; 2) = 0,7679.

Поскольку оно меньше критического при уровне значимости α = 0,05, числе исследуемых оценок дисперсий, равном четырем, числах степеней свободы каждой из оценок дисперсий, равных двум, гипотеза об однородности оценок не отвергается [3, табл. 3.4 б]. Дисперсионный анализ можно проводить, поскольку существенного влияния на признак неучитываемые факторы не оказывали.

Рассчитаем суммы, входящие в формулы для определения суммарных квадратов:

= (143,0 + 239,4)² = 382,4² = 146229,8; = 20134,7; 333² + 49,4² =

= 113329,4; = 143² + 239,4² = 77761,4;

= 15450,5 + 43555,7 +

+ 349,7 + 942,5 = 60298,4;

Полные суммарные квадраты, характеризующие отклонение признака от общей средней, отклонение признака от воздействия фактора А – совершенствования системы маркетинга, отклонение признака от воздействия фактора В – разновидности колбасной продукции, изменчивость признака от взаимодействия факторов А и В, а также суммарный квадрат, характеризующий ошибку эксперимента и действие неучтенных факторов будут иметь следующие значения:

Q₀ = 20134,7 – 146229,8 / 12 = 7948,9;

Q₁ = (113329,4 / 3ּ2) – 146229,8 / 12 = 6702,4;

Q₂ = (77761,4 / 3ּ2) – 146229,8 / 12 = 774,4;

Q₃ = (60298,4 / 3) – (113329,4 / 3ּ2) – (77761,4 / 3ּ2) + (146229,8 / 12) = 436,9;

Q₄ = 20134,7 – 60298,4 / 3 = 35,2.

Сделаем проверку: Q₀ = Q₁ + Q₂ + Q₃ + Q₄.

7948,9 = 6702,4 + 774,4 + 436,9 + 35,2.

Числа степеней свободы оценок дисперсий имеют следующие значения:

f₀ = N – 1 = 12 – 1 = 11; f₁ = b – 1 = 2 – 1 = 1; f₂ = a – 1 = 2 – 1 = 1;

f₃ = (a –1)(b – 1) = (2 - 1)(2 – 1) = 1; f₄ = ab(n – 1) = 2·2(3 – 1) = 8.

Оценки дисперсий соответственно полной, характеризующей отклонение признака от воздействия фактора А – совершенствования системы маркетинга; характеризующей отклонение признака от воздействия фактора В – разновидности колбасной продукции; характеризующей изменчивость признака от взаимодействия факторов А и В; характеризующей ошибку эксперимента и действие неучтенных факторов следующие:

Проверим значимость оценок дисперсий с помощью критерия Фишера (табл. 10 приложения):

Оценим дисперсию роста продаж колбасных изделий в 2000 г. за счет динамичного развития этой сферы маркетинга по формуле

Оценим дисперсию, характеризующую влияние разновидности изделия на рост объема продаж:

Оценим дисперсию, характеризующую влияние эффекта взаимодействия факторов А и В (динамичного развития сферы маркетинга в части продаж колбасных изделий и разновидности изделий):

Оценим полную дисперсию изменчивости признака:

Оценим вклад фактора А в изменчивость признака:

Оценим вклад фактора В в изменчивость признака:

Оценим вклад эффекта взаимодействия в изменчивость признака:

Оценим вклад ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов в изменчивость признака:

Таким образом, месячный объем продаж колбасных изделий в 2000 г. более чем на 84 % был обусловлен совершенствованием исследуемой сферы маркетинга в течение года, более чем на 9 % – приемлемым для покупателей ассортиментом, почти на 6 % – их взаимодействием при ошибке расчетов из-за неучтенных факторов и погрешностей эксперимента, составляющей менее одного процента.