Внутренняя энергия. 2 страница

Теплоемкость газовой смеси вычис­ляется по составу газовой смеси и теплоемкостям отдельных газов, входящих в данную газовую смесь. Газовая смесь может быть задана массовым, объемным и молярным составом. Пусть смесь газов задана массовым составом, тогда масса смеси

.

(2.10)

где — масса i-го компонента, входящего в смесь.

Очевидно, для увеличения температуры газовой смеси на необходимо увеличить температуру на каждого газа этой смеси. При этом на нагревание каждого газа смеси необходимо затратить количество теплоты , где — массовая теплоемкость i-го газа смеси.

Теплоемкость газовой смеси определяется из уравнения теплового баланса

,

где — теплоемкость газовой смеси.

Разделив левую и правую части уравнения на , получим

,

(2.11)

где — массовая доля i-го газа, входящего в смесь.

Из выражения (2.11) видно, что теплоемкость смеси газов, заданной массовыми долями (массовая теплоемкость смеси), равна сумме произведений массовых долей на массовую теплоемкость каждого газа.

С помощью аналогичных рассуждений можно найти сходные по структуре с полученным выражением выражения для объёмной и мольной теплоёмкостей газовой смеси.

Тема 3. ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ

3.1.Сущность первого закона термодинамики

Первый закон термодинамики является математическим выражением количественной стороны закона сохранения и превращения энергии в применении к термодинамическим системам. По этому закону теплота может превращаться в механическую работу или, наоборот, работа в теплоту в строго эквивалентных количествах. Это означает, что из данного количества теплоты в случае её полного превращения в работу получается строго определённое и всегда одно и то же количество работы, точно так же, как из данного количества работы при её полном превращении в тепло получается строго определённое и всегда одно и то же количество теплоты.

3.2. Аналитическое выражение первого закона термодинамики для цикла и разомкнутого процесса

Рассмотрим две системы: А и В (рис. 3.1). Предположим, что система А взаимодействует с системой В только в тепловом отношении. Пусть температура системы А выше температуры системы В (T_A>T_B), тогда разность температур T_A-T_B приведет к передаче теплоты от системы А к системе В. Запишем уравнение баланса энергии. Подводимая к системе В теплота расходуется на изменение внутренней энергии и на совершение всех видов работы , то есть

Рис. 3.1. К выводу первого закона термодинамики

.

(3.1)

Если затрачивается бесконечно малое количество теплоты, при этом совершается бесконечно малая работа и будет бесконечно малым изменение внутренней энергии, то уравнение (3.1) можно записать в виде

.

(3.2)

Так как нас интересует только механическая работа, совершаемая при изменении объёма рабочего тела, то естественно интересоваться только той частью подводимого к системе В тепла, которое расходуется на изменение внутренней энергии и на совершение механической работы изменения объёма рабочего тела. Поэтому запишем

,

(3.3)

или

.

(3.4)

Для 1 кг рабочего тела получим

,

(3.5)

или

.

(3.6)

Уравнения (3.5) и (3.6) являются математическим выражением первого закона термодинамики.

Для кругового процесса выражение первого закона термодинамики в инте­гральной форме запишется как

.

(3.7)

Так как изменение внутренней энергии термодинамической системы не зависит от характера процесса и полностью определяется её начальным и конечным состояниями, то . Следовательно, все количество тепло­ты, подведенное к термодинамической системе или отведенное от нее в таком процессе, полностью расходуется на совершение системой внешней работы

.

(3.8)

То есть в круговом термодинамическом процессе теплота и работа взаимно превращаются в эквивалентных количествах. Если бы оказалось, что , то можно было бы осуществить вечный двигатель первого рода — двигатель, который совершал бы работу без затраты энергии.

Таким образом, первый закон термодинамики, указывая на эквивалентность между теплотой и работой, свидетельствует о невозможности создания такой машины, которая бы производи­ла работу, не затрачивая никакой энергии.

3.3. Уравнение первого закона термодинамики для потока газа

Уравнение первого закона для единицы массы стационарного потока (т. е. потока, параметры которого в любом сечении со временем не изменяются) можно вывести с помощью модели, показанной на рис. 3.2.

Рис. 3.2. К выводу уравнения первого закона термодинамики для потока газа

Здесь поток газа, получая теплоту dq, совершает техническую работу dl, а также работу за счет изменения его кинетической энергии d(w²/2) и работу против силы тяжести d(g*h) вследствие изменения его высоты над уровнем моря (h=h₂-h₁). Кроме того, имеет место работа вталкивания газа p₁*v₁ и выталкивания p₂*v₂. Их разность l_пр=p₂*v₂-p₁*v₁ называют работой проталкивания. Учитывая сказанное можно записать закон сохранения энергии для движущегося рабочего тела

(3.9)

Здесь u – внутренняя энергия рабочего тела.

Так как по определению u+p*v=i, полученное выражение можно переписать следующим образом

После интегрирования получим

(3.10)

Выражение (3.10) и есть уравнение первого закона термодинамики для движущегося рабочего тела.

Тема 4 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

4.1 Алгоритм исследования термодинамических процессов

При исследовании термодинамических процессов применяют уравнение состояния идеальных газов и математическое выраже­ние первого закона термодинамики.

При изучении термодинамических процессов идеальных газов необходимо:

1) определить уравнение кривой процесса в pv-диаграмме;

2) установить связь между основными термодинамическими параметрами;

3) вычислить изменение внутренней энергии рабочего тела по формуле, справедливой для всех процессов идеального газа,

(4.1)

4) найти величину внешней (термодинамической) удельной работы по формуле

(4.2)

5) рассчитать количество теплоты, участвующей в термодинамическом процессе, по формуле

(4.3)

где c_x – теплоёмкость процесса;

6) определить изменение энтальпии в термодинамическом процессе по формуле

(4.4)

7) вычислить изменение энтропии в термодинамическом процессе по формуле, справедливой для всех процессов идеального газа,

(4.5)

В общем случае любые два термодинамических параметра из трех могут изменяться произвольно.

Изучение работы тепловых машин показывает, что наибольший интерес для практики представляют следующие основные процессы: при постоянном объеме (V=const); при постоянном давлении (р=const); при постоянной температуре (Т=const); при dq=0 (процесс, протекающий без теплообмена рабочего тела с окружающей средой) и политропный процесс, который при определенных условиях можно рассматривать в качестве обобщающего по отношению ко всем основным процессам.

Чтобы получить обобщенные и простые формулы, уравнения первого закона термодинамики рассматриваются для 1 кг идеального газа.

4.2 Термодинамические процессы

4.2.1 Изохорный процесс (v=const)

Такой процесс может совершаться рабочим телом, находящимся в цилиндре при неподвижном поршне, если к рабочему телу подводится теплота от источника теплоты (см. рис. 4.1) или отводится теплота от рабочего тела к холодильнику. При изохорном процессе выполняется условие dv=0 или v=const. Уравнение изохорного процесса получим из уравнения состояния идеального газа (см. 1.6) при v=const.

В pv-координатах график процесса представляет собой прямую линию, параллельную оси ординат p. Изохорный процесс может протекать с повышением давления (процесс 1-2) и с понижением (процесс 1-2’).

Рис. 4.1 График изохорного процесса в p-v координатах

Запишем для точек 1 и 2 уравнения состояния: p₁·v=R·T₁; p₂·v=R·T₂. Следовательно, для изохорного процесса

(4.6)

Приращение внутренней энергии газа

(4.7)

Работа газа

так как dv=0.

Энтальпия газа i_v=u+p·v, а di_v=du+d(p·v)=du+p·dv+v·dp=du+v·dp. Поэтому

(4.8)

Энтропия

То есть

(4.9)

4.2.2 Изобарный процесс (p=const)

В p-v координатах график процесса представляет собой прямую линию параллельную оси абсцисс v (рис. 4.2). Изобарный процесс может протекать с увеличением объёма (процесс 1-2) и с его уменьшением (процесс 1-2’). Запишем для точек 1 и 2 уравнения состояния: p·v₁=R·T₁; p·v₂=R·T₂.

Рис. 4.2. График изобарного процесса в p-v координатах

Следовательно, для изобарного процесса

(4.10)

Приращение внутренней энергии газа Работа газа

Так как p·v₂=R·T₂, а p·v₁=R·T₁, то l=R·(T₂-T₁). Следовательно, газовая постоянная имеет определённый физический смысл: это работа 1 кг газа в изобарном процессе при изменении температуры на один градус Кельвина.

Из выражения (4.3) следует, что в изобарном процессе q=c_p·(T₂-T₁).

В соответствии с первым законом термодинамики для изобарного процесса можно записать

dq=du+p·dv= du+d(p·v)=di

Поэтому в изобарном процессе

di=q=c_p·(T₂-T₁)

Из соотношений, характеризующих изобарный процесс, вытекает уравнение Майера.

Так как

dq=c_p·dT=c_v·dT+dl=c_v·dT+R·dT,

то R=c_p-c_v.

Используя выражение (4.5), можно показать, что в изобарном процессе энтропия газа

(4.11)

4.2.3 Изотермический процесс (T=const)

В p-v координатах график процесса изображается равнобокой гиперболой (рис. 4.3). Изотермический процесс может протекать как с увеличением объёма (процесс 1-2), так и с уменьшением объёма (процесс 1-2’).

Рис. 4.3. График изотермического процесса в p-v координатах

Запишем для точек 1 и 2 уравнения состояния p₁·v₁=R·T; p₂·v₂=R·T. Следовательно, для изотермического процесса p₁·v₁=p₂·v₂=const.

Приращение внутренней энергии газа

Работа газа

(4.12)

Теплота, подводимая в процессе

(4.13)

Энтальпия газа Δi=Δu+Δ(p·v)=0.

Изменение энтропии газа вычисляется по формуле

(4.14)

4.2.4 Адиабатный процесс

Адиабатный процесс – это процесс, при котором рабочее тело не обменивается теплотой с окружающей средой (dq=0). Для получения графика процесса в p-v координатах выполним некоторые преобразования.

В соответствии с первым законом термодинамики

dq=c_v·dT+p·dv=c·dT,

где с – теплоёмкость термодинамического процесса.

Тогда можно записать, что

(4.15)

(4.16)

Продифференцируем уравнение состояния идеального газа и запишем

Так как R=c_p-c_v, то выражение (4.15) можно переписать с учётом (4.16) следующим образом:

(4.17)

Выполним преобразования выражения (4.17).

(4.18)

Разделим выражение (4.18) на (c_v-c)·p·v и получим:

(4.19)

Обозначим , тогда

потенциируем

Следовательно

(4.20)

В адиабатном процессе dq=0, то есть c·dT=0. Поэтому c=0. Значит в адиабатном процессе . Эту величину принято обозначать буквой и называть показателем адиабаты.

Поэтому в p-v координатах адиабатный процесс изображается неравнобокой гиперболой v^k·p=const (рис. 4.4). Так как k>1, то адиабата проходит круче гиперболы. Адиабатный процесс может протекать как с увеличением объёма (процесс 1-2), так и с уменьшением объёма (процесс 1-2’).

Рис. 4.4. График адиабатного процесса в p-v координатах

Запишем для точек 1 и 2 уравнения состояния p₁·v₁=R·T₁; p₂·v₂=R·T₂. Так как в адиабатном процессе p₁·v₁^k=p₂·v₂^k, то

, , .

Приращение внутренней энергии газа .

Так как , а , то , а .

Поэтому

(4.21)

Работа газа в адиабатном процессе выполняется за счёт его внутренней энергии. Так как в адиабатном процессе отсутствует обмен теплотой с окружающей средой, то в соответствии с первым законом термодинамики имеем l+Δu=0 или l=-Δu. Поэтому

(4.22)

Изменение энтальпии газа в адиабатном процессе может быть определено исходя из следующих соображений:

Так как , то в итоге получим

(4.23)

Энтропия газа в адиабатном процессе не изменяется, так как dq=0. Поэтому в T-s координатах адиабатный процесс изображается прямой линией, параллельной оси температур.

4.2.5 Политропный процесс

Политропным процессом называется любой произвольный процесс изменения состояния рабочего тела, происходящий при постоянной теплоёмкости с_п.

В политропном процессе dq=c_п·dT.

Для получения графика политропного процесса в p-v координатах будем придерживаться тех же рассуждений, что и при получении графика адиабатного процесса. Заменим в соотношениях, полученных при изучении адиабатного процесса, обозначение теплоёмкости с на с_п и обнаружим, что p·vⁿ=const, а .

В дальнейшем всё, что написано об адиабатном процессе, можно распространить на описание политропного процесса, заменяя в выражениях k на n.

Покажем, что адиабатный процесс делит все процессы на две группы: на процессы, в которых теплоёмкость больше нуля, и на процессы, в которых теплоёмкость меньше нуля.

Так как , то можно записать

; ; ; .

Из последнего выражения видно, что при n>k c_п>0, а при k>n>1 c_п<0.

В заключение отметим, что все рассмотренные ранее процессы – это частные случаи политропного процесса.

При n=k имеем адиабатный процесс.

При n=0 имеем р₁·v₁⁰=р₂·v₂⁰, то есть изобарный процесс (p₁=p₂).

При n=1 имеем р₁·v₁= р₂·v₂, то есть изотермический процесс.

При n=∞ имеем или , что равносильно или , то есть изохорный процесс.

Тема 5 ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ

5.1.Сущность и формулировки второго закона термодинамики

Если исходить из первого закона термодинамики, то можно до­пустить протекание любого процесса, который не противоречит за­кону сохранения энергии. В частности, при теплообмене можно бы­ло бы предположить, что теплота может передаваться как от тела с большей температурой к телу с меньшей температурой, так и на­оборот. При этом согласно первому закону термодинамики накла­дывается только одно условие: чтобы количество теплоты, отдан­ной одним телом, равнялось количеству теплоты, принятой другим телом.

Между тем, из опыта известно, что теплота всегда самопроиз­вольно передается только от более нагретых тел к менее нагретым. Самопроизвольный или естественный процесс теплообмена обла­дает свойством направленности в сторону тел с более низкой тем­пературой. Причём он прекращается при достижении равенства температур участвующих в теплообмене тел. Однако, возможен и обратный, не самопроизвольный (или про­тивоестественный) процесс передачи теплоты от менее нагретых тел к более нагретым (например, в холодильных установках), но для осуществления его требуется подвод энергии извне как бы для ком­пенсации протекания процесса.

Констатация этой особенности теплоты, проявляющейся в про­цессе ее передачи, является одной из сторон сущности второго за­кона термодинамики, который Р. Клаузиус (1850 г.) сформулировал так: теплота не может сама собой переходить от менее нагретого тела к более нагретому, т. е. некомпенсированный переход теплоты от тела с меньшей температурой невозможен.