Полиномиально распределенные лаги Алмон

В 1965 г. III. Алмон предложила способ оценки параметров модели с распределенными лагами на основе гипотезы о том, что лаговые коэффициенты регрессии аппроксимируются полиномом соответствующей степени от величины лага. Это значит, что в модели параметр рассматривается как функция: При этом априори выдвигается предположение о степени полинома. Как правило, используется многочлен невысокой степени (m≤ 4).

Предположим, что имеет распределение в виде параболы второй степени, т.е. Тогда каждый из коэффициентов можно представить в виде

Подставим эти соотношения для в модель с распределенными лагами и перегруппируем слагаемые с одинаковыми значениями с:

Будем рассматривать слагаемые в скобках при , и как новые переменные z, т.е. модель с распределенными лагами примет вид

где , и определяются как

Оценка параметров при преобразованных переменных z реализуется традиционным МНК. При этом случайные отклонения удовлетворяют предпосылкам МНК. Далее на основе параметров , и переходим к оценке параметров , используя выражения коэффициентов через коэффициенты полинома:

В матричном виде можно записать, что b = Hc, где

- матрица весов при лаговых коэффициентах ; с — вектор коэффициентов при переменных z.

Тогда модель в целом принимает вид у = ХНс + = Zc + .

Стандартная ошибка коэффициентов регрессии при лаговых переменных определится как

Далее через t-критерий Стьюдента оценивается значимость коэффициентов .

Качество модели оценивается через коэффициент детерминации для уравнения регрессии от преобразованных переменных z, т.е. по модели

у = Zc + .

Таким образом, применение метода Алмон включает в себя следующие этапы работы:

1) определение максимальной величины лага k;

2) определение степени полинома m, описывающего распределение коэффициентов регрессии в зависимости от величины лага;

3) расчет преобразованных переменных z;

4) расчет параметров линейной регрессии у от преобразованных переменных z, т.е. оценка ;

5) переход к исходным параметрам модели с распределенными лагами.

Теоретически достаточно сложно определить максимальную величину лага к. В основном для этой цели используется экспериментальный путь: строится уравнение с большим числом последовательных лагов и с постепенным его уменьшением изучается значимость коэффициентов регрессии при лаговых объясняющих переменных. Останавливаются на варианте, для которого все коэффициенты регрессии статистически значимы.

Степень полинома задается исследователем, исходя из соответствующих теоретических соображений и результатов предыдущих исследований.

Пример 5.6

По данным за 32 квартала об объеме продукции (у — в млн. руб.) и инвестициях в основной капитал (х — в млн. руб.) строится модель с распределенными лагами

(5.41)

Объем продукции и инвестиции в основной капитал

Таблица 5.13.

Предполагая квадратичную зависимость от величины лага имеем соотношения

(5.42)

Соответственно модель с распределенными лагами примет вид

Расчет преобразованных переменных z,- представлен в табл., где

Применяя к преобразованным данным обычный МНК, получим следующее уравнение:

Все параметры уравнения статистически значимы ( ;df = 26). = 0,9955 указывает на хорошее качество модели.

Далее найдем коэффициенты регрессии исходной модели, т.е. , используя выражения (5.42):

=3,7713;

= 3,7713 + (-2,2668) + 0,5065 = 2,011;

= 3,7713 - 2 • 2.2668 + 4 • 0,5065 = 1,2637;

= 3,7713 - 3 • 2,2668 + 9 • 0,5065 = 1,5294;

= 3,7713 - 4 • 2,2668 +16 • 0,5065 = 2,8081.

Модель регрессии с распределенными лагами примет вид

= 0,9955.

Для свободного члена а стандартная ошибка составила 0,313. Соответственно по t-критерию Стьюдента все параметры оказались статистически значимыми.

Модель показывает, что рост инвестиций в текущем периоде на 100 тыс. руб. способствует росту объема продукции в том же периоде в среднем на 377 тыс. руб., а через квартал — на 578 тыс. руб. В целом же через год прирост объема продукции за счет роста инвестиций на 100 тыс. руб. ожидается в размере 1,138 млн руб. (3,771 + 2,011 + 1,264 + 1,529 + 2,808 = 11,383).

Определив относительные коэффициенты регрессии увидим, что половина воздействия фактора на результат реализуется с лагом в один квартал:

Метод Койка

Для модели с бесконечным числом лаговых значений объясняющей переменной

(5.43) оценка параметров не представляется возможной без какого-либо допущения относительно поведения коэффициентов при лаговых переменных. Одним из допущений является предположение о том, что после некоторой длины лага (например,k) коэффициенты распределенного лага начнут убывать геометрически с одинаковым темпом λ (0< λ< 1). Тогда уравнение (5.43) может быть записано в виде

(5.44)

В уравнении (2) первые к коэффициентов распределенного лага являются свободными (принимают любые значения), а остальные лаговые коэффициенты убывают в геометрической прогрессии.

Если в уравнении (5.44) предположить, что убывание лаговых коэффициентов в геометрической прогрессии происходит сразу же, а не через интервал времени к, то получим следующую модель:

(5.45)

Коэффициенты данной модели согласовываются с коэффициентами уравнения (5.43), а именно

(5.46)

Это означает, что оценив три параметра уравнения (5.45), т.е. и λ, можно перейти к модели (5.43): а и определены по модели (5.43), и т.д.

Однако наличие в модели (5.45) бесконечного числа лаговых переменных затрудняет практическую ее реализацию, ибо исследователь имеет дело, как правило, с конечным числом лагов. Оценка параметров модели (5.45) возможна, если применить преобразование Койка.

Предполагая, что в модели (5.43) все лаговые коэффициенты имеют одинаковый знак и уменьшаются в геометрической прогрессии, Л. М. Койк предложил для оценки параметров модели (5.45) следующую процедуру:

— построить модель (5.45) для момента времени (t - 1), т.е. получить уравнение

(5.47)

— умножить уравнение (5.47) на λ, т.е. получить уравнение

(5.48)

— вычесть из уравнения (5.45) уравнение (5.48):

— после преобразования получить уравнение

(5.49)где .

Уравнение (5.49) получило название преобразование Койка. Практически в модели (5.49) от уравнения с распределенными лагами с бесконечным их числом (1) Л. М. Койк перешел к модели авторегрессии, для которой требуется оценить всего три параметра: а, и λ. Далее из соотношения (5.46) находятся параметры исходной модели (5.43).

Рассмотренный подход нашел широкое применение в исследовании кумулятивного эффекта рекламы на объем продаж, т.е. текущий объем продаж рассматривается в зависимости от расходов на рекламу текущего периода, объема продаж в предыдущий период времени и ошибки .

Преобразование Койка может быть использовано и при решении модели (5.44), когда несколько первых коэффициентов остаются свободными, а для оставшихся лагов реализуется данное преобразование. Например, считая, что и остаются свободными, а начиная с все лаговые коэффициенты убывают с одинаковым темпом, можно записать

(5.50)

Далее после применения преобразования Койка получается уравнение

т.е. происходит переход к модели авторегрессии с распределенными лагами.

Преобразование Койка приводит к существенным упрощениям, ибо вместе с уменьшением числа оцениваемых параметров устраняется и проблема мультиколлинеарности факторов: теперь в модели (5.49) содержится две независимые переменные и .

Модель Койка позволяет анализировать краткосрочный и долгосрочный мультипликаторы. Краткосрочным мультипликатором является параметр , а долгосрочным — сумма коэффициентов регрессии, представляющая собой сумму геометрической прогрессии

В модели Койка (5.49) случайная ошибка коррелирована с переменной . Поэтому оценивание параметров ее модели традиционным МНК дает смещенные и несостоятельные оценки. Вместо МНК могут быть применены инструментальные переменные или метод максимального правдоподобия.

Поскольку уравнение (5.49) является моделью авторегрессии, то остатки могут быть автокоррелированы. Для их анализа не применим рассмотренный ранее критерий Дарбина—Уотсона (DW). Вместо него необходимо использовать h-статистику Дарбина.