Выявление и характеристика основной тенденции развития

Важной задачей, возникающей при анализе рядов динамики, явля­ется определение основной тенденции в развитии исследуемого явле­ния. В некоторых случаях общая тенденция ясно прослеживается в ди­намике показателя, в других ситуациях может не просматриваться из-за ощутимых колебаний.

Распространенным приемом при выявлении тенденции развития является сглаживание временного ряда. Суть различных приемов сгла­живания сводится к замене фактических уровней временного ряда рас­четными уровнями, которые в меньшей степени подвержены колебани­ям. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития.

Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и перио­дические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии про­цесса и поэтому служат важным инструментом при фильтрации компо­нент временного ряда.

Процедуры скользящих средних опираются на известную теорему Вейерштрасса, согласно которой «любая гладкая функция при самых общих допущениях может быть локально (т. е. в ограниченном интерва­ле изменения ее аргумента t) представлена алгебраическим полиномом подходящей степени».

Таким образом, на первом шаге необходимо определить длину ин­тервала сглаживания . При этом исследователь должен иметь в виду, что чем шире интервал сглаживания, тем в большей степени поглощаются колебания, и тенденция развития носит более плавный, сглаженный ха­рактер. Чем сильнее колебания, тем шире должен быть интервал сгла­живания.

Схема сглаживания временного ряда по простой скользящей средней заключается в следующем:

- определение длины интервала сглаживания, включающего в себя последовательных уровней ряда ;

- разделение исходного временного ряда на участки, каждый из которых содержит уровней уровней;

- вычисление средних значений для уровней ряда, образующих каждый участок;

-замена центральных значений на каждом участке на соответствующие средние значения.

При этом удобно брать длину интервала сглаживания в виде нечет­ного числа: = 2р + 1, так как в этом случае полученные значения сколь­зящей средней приходятся на средний уровень интервала.

Наблюдения, которые берутся для расчета среднего значения, назы­ваются активным участком сглаживания.

При нечетном значении = 2р + 1 все уровни активного участка мо­гут быть представлены в виде:

где — центральный уровень активного участка; — последова­тельность из р уровней активного участка, предшествующих центральному; — последовательность из р уровней активного участка, следующих за центральным.

Тогда скользящая средняя может быть определена по формуле:

(5.1)

где — фактическое значение i-го уровня; — значение скользящейсредней в момент t; 2р + 1 — длина интервала сглаживания.

При реализации простой скользящей средней выравнивание накаж­дом активном участке производится по прямой (по полиномупервого порядка). Таким образом, осуществляется аппроксимация неслучайной составляющей с помощью линейной функции времени:

.

Рассмотрим активный участок с длиной интервала сглаживания =2р + 1.

На рис. 5.1 показан активный участок с длиной интервала сглажива­ния = 7. Перенесем начало координат в середину временного интерва­ла, т. е. будем рассматривать моменты времени t = —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3 (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Сглаживание с помощью простой скользящей средней при = 7. (выравнивание на активном участке по полиному первой степени)

Неизвестные коэффициенты линейной модели подбираются таким образом, чтобы минимизировать критерий метода наименьших квадра­тов (МНК):

Находим частные производные по и приравниваем их нулю:

При = 0 получаем уравнение

. (5.2)

Очевидно, что за счет выполненного переноса начала координат

=0, а сглаженное значение в центральной точке активного участка

определяется коэффициентом а₀. Из уравнения (5.2) получается выра­жение для этого коэффициента:

Таким образом, в качестве сглаженного значения в центральной точ­ке активного участка следует брать среднее арифметическое из уровней ряда, образующих этот участок. Полученный вывод является обоснова­нием ранее рассмотренного алгоритма сглаживания.

Рассмотрим процедуру расчета простых скользящих средних на сле­дующем примере.

ПРИМЕР 5.1

По данным об изменении индекса ММВБ (табл. 5.1) за 18 дней рассчитайте:

- трех- и семидневные скользящие средние;

- графически сравните результаты.

Решение.

При трехдневной скользящей средней (гр. 4 табл. 5.1):

Индекс ММВБ. Расчет скользящих средних

Таблица 5.1

Дата	Порядковый номер уровня, t	Индекс ММВБ, отн. ед.	Скользящие средние
= 3	=7
7ноября ноября 2006 г.		1480,88	-	-
8 ноября 2006 г.		1477,37	1487,04	-
9 ноября 2006 г.		1502,86	1494,59	-
10 ноября 2006 г.		1503,55	1502,24	1495,47
13 ноября 2006 г.		1500,30	1500,86	1500,92
14 ноября 2006 г.		1498,73	1501,21	1504,17
15 ноября 2006 г.		1504,61	1507,45	1502,41
16 ноября 2006 г.		1519,01	1507,91	1503,32
17 ноября 2006 г.		1500,11	1503,23	1503,63
20 ноября 2006 г.		1490,58	1500,19	1506,20
21 ноября 2006 г.		1509,87	1500,99	1508,12
22 ноября 2006 г.		1502,53	1509,69	1508,09
23 ноября 2006 г.		1516,67	1512,42	1511,09
24 ноября 2006 г.		1518,06	1517,84	1519,14
27 ноября 2006 г.		1518,79	1519,32	1524,96
28 ноября 2006 г.		1521,11	1528,95	-
29 ноября 2006 г.		1546,95	1539,55	-
30 ноября 2006 г.		1550,58	-	-

При семидневной скользящей средней (гр. 5 табл. 5.1):

Графический анализ показывает, что ряд, сглаженный по 7-дневной скользящей средней, носит более гладкий характер (рис. 5.2). Это объясняется тем, что чем больше длина интервала сглаживания, тем более гладкий ряд на выходе модели.

Процедура сглаживания приводит к устранению периодических колебаний во временном ряду, если длина интервала сглаживания берется равной или кратной периоду колебаний.

Рис.5.2. Сглаживание временного ряда «Индекс ММВБ» с помощью скользящих средних

Для устранения сезонных колебаний на практике часто требуется использовать скользящие средние с длиной интервала сглаживания, равной 4 или 12, при этом не будет выполняться условие нечетности.

При четном числе уровней выражение (5.1) будет заменено выраже­нием (5.2):

(5.2)

Согласно (5.2) количество уровней, рассматриваемое на каждом активном участке, равно 2р + 1, при этом первое и последнее наблюдение на активном участке принято брать с половинными весами.

Тогда для сглаживания сезонных колебаний при работе с временны­ми рядами квартальной динамики можно использовать 4-членную скользящую среднюю:

(5.3)

При рассмотрении временных рядов ежемесячной динамики для устранения сезонных колебаний, как правило, применяют 12-членную скользящую среднюю:

(5.4)

ПРИМЕР 5.2

В табл. 5.2 приведены квартальные данные за восемь лет об объеме импорта РФ. Для сгла­живания колебаний применим процедуру скользящих средних, приняв длину интер­вала сглаживания 1=4.

Таблица 5.2

Квартальные данные об объёме импорта РФ

Решение.

Ежегодно в четвертом квартале наблюдаются существенные «всплески» в значе­ниях показателя. Наиболее низкие значения импорта наблюдаются в первом квартале каждого года (рис. 5.3).

При четырехчленной скользящей средней:

Результаты расчетов представлены в гр. 5 табл. 5.2, графическая иллюстрация сглаживания - на рис.5.3.

Рис. 5.3.Сглаживание временного ряда импорта РФ с помощью скользящей средней при 1= 4

Особенности применения взвешенных скользящих средних

Простую скользящую среднюю следует применять в тех случаях, ко­гда графическое изображение динамического ряда напоминает прямую. Если для процесса характерно нелинейное развитие, то простая сколь­зящая средняя может привести к существенным искажениям. Когда тренд выравниваемого ряда имеет изгибы и для исследователя желатель­но сохранить волны, то целесообразно использовать взвешенную скользя­щую среднюю.

При построении взвешенной скользящей средней на каждом актив­ном участке значение центрального уровня заменяется на расчетное, определяемое по формуле средней арифметической взвешенной:

где — весовые коэффициенты.

При простой скользящей средней выравнивание на каждом актив­ном участке производится по прямой (полиному первого порядка) (рис. 5.1), а при сглаживании по взвешенной скользящей средней ис­пользуются полиномы более высоких порядков, чаще всего второго или третьего (рис. 5.4).

Рис5.4. Сглаживание с помощью взвешенной скользящей средней при / = 7

(выравнивание на активном участке по полиному второй степени)

Поэтому простая скользящая средняя может рассматриваться как частный случай подхода, опирающегося на применение взвешенной скользящей средней.

Простая скользящая средняя учитывает все уровни ряда, входящие в активный участок сглаживания, с равными весами ( ), а взвешенная скользящая средняя приписывает каждому уровню вес, зависящий от удаления данного уровня до уровня, стоящего в середине активного участка. В связи с этим весовые коэффициенты симметричны относи­тельно центрального уровня на активном участке. Например, при =5 будут одинаковыми весовые коэффициенты для первого уровня (y_t-2) и последнего (y_t+2) на каждом активном участке, для уровней (y_t-1) и (y_t+1); свой весовой коэффициент будет для центрального уровня на активном участке (y_t).

Таким образом, для расчета взвешенной скользящей средней при =5 достаточно знать значения трех весовых коэффициентов.

Весовые коэффициенты ( ) определяются методом наименьших квадратов, причем нет необходимости каждый раз вычислять их заново. Это объясняется тем, что они будут одинаковыми для каждого активно­го участка при заданном значении параметра и при фиксированном значении порядка выравнивающего полинома.

Расчет весовых коэффициентов осуществляется по следующей схеме.

Для каждого активного участка подбирается полином вида у_t = а₀ +a_xt +a₂t²+..., коэффициенты которого оцениваются с помощью

метода наименьших квадратов (МНК). При этом начало отсчета (начало координат) переносится в середину активного участка. Например, для длины интервала сглаживания =7 рассматриваются моменты времени t: -3,-2,-1,0, 1,2, 3 (рис. 5.4).

Тогда сглаженным значением для уровня, стоящего в середине ак­тивного участка, будет значение параметра я₀ подобранного полинома. Выражение для определения этого коэффициента получается из систе­мы нормальных уравнений, упрощенной за счет переноса начала коор­динат в середину активного участка.

Процедура определения весовых коэффициентов носит общий ха­рактер.

Если для каждого активного участка с длиной интервала сглажива­ния = 2p+1 подбирается полином порядка т, то согласно МНК необхо­димо минимизировать функционал: