Экспоненциальное сглаживание.

Предположим, что временной ряд может быть представлен в виде:

где а - const; случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым ма­тематическим ожиданием и дисперсией .

Модель экспоненциального сглаживания ряда описывается следую­щей рекуррентной формулой:

(5.8)

где St значение экспоненциальной средней в момент; — параметр сглажива­ния, = const, 0< < 1; = 1 - .

Если последовательно использовать соотношение (8.8), то экспоненциальную среднюю St можно выразить через предшествующие зна­чения уровней временного ряда:

(5.9)

где п — длина ряда; — начальное значение экспоненциальной средней.

Из (5.2) видно, что величина St оказывается взвешенной суммой всех членов ряда. Причем веса отдельных уровней ряда убывают по мере их удаления в прошлое соответственно экспоненциальной функции (в зависимости от «возраста» наблюдений). Именно поэтому модель (5.8) получила название модели экспоненциального сглаживания.

Например, пусть = 0,1. Тогда вес текущего наблюдения , будет равен = 0,1, вес предыдущего уровня будет соответствовать = 0,1* 0,9 = 0,09; для уровня вес составит = 0,081; для = 0,0729 и т. д.

При расчете экспоненциальной средней в момент времени t всегда требуется значение экспоненциальной средней в предыдущий момент времени, поэтому на первом шаге должна быть определена некоторая

величина S0, предшествующая . Часто на практике в качестве началь­ного значения S0 используется среднее арифметическое значение из всех имеющихся уровней временного ряда или из какой-то их части. Из выражения (8.9) следует, что вес, приписываемый этому значению, уменьшается по экспоненциальной зависимости по мере удаления от первого уровня. Поэтому для длинных временных рядов влияние не­удачного выбора S0 погашается.

Рассмотрим выражение (8.9) при п . Очевидно, что , сле­довательно,

(5.10)

Автор модели Р. Браун показал, что математические ожидания вре­менного ряда и экспоненциальной средней совпадут, но в то же время дисперсия экспоненциальной средней D[St] будет меньше дисперсии временного ряда ( ).

Представим выражение (5.10) в следующем виде:

Отсюда очевидно, что математическое ожидание M(St) = a, так же как и математическое ожидание самого временного ряда.

Дисперсия экспоненциальной средней D[St] определяется выраже­нием:

 

Учитывая свойства можно записать:

Таким образом, (5.11)

Так как 0< <1, то D[St] будет меньше дисперсии временного ряда .

Из (5.11) видно, что при высоком значении дисперсия экспоненциальной средней незначительно отличается от дисперсии ряда. С уменьшением дисперсия экспоненциальной средней сокращает­ся, возрастает ее отличие от дисперсии ряда. Тем самым экспоненци­альная средняя начинает играть роль «фильтра», поглощающего колеба­ния временного ряда.

Таким образом, с одной стороны, следует увеличивать вес более све­жих наблюдений, что может быть достигнуто повышением , с другой стороны, для сглаживания случайных отклонений величину нужно уменьшить. Эти два требования находятся в противоречии. Поиск ком­промиссного значения параметра сглаживания с учетом специфики решаемой задачи составляет важную часть исследования.

ПРИМЕР 5.4

Требуется рассчитать экспоненциальную среднюю для временного ряда курса доллара США с 9 января 2013 г. по 6 февраля 2013 г. (табл. 5.5). В качестве начального зна­чения экспоненциальной средней возьмите среднее значение пяти первых уровней. Расчеты проведите для трех различных значений параметров адаптации: а) = 0,2; б) = 0,5; в) = 0,8.

Сравните графически исходный временной ряд и экспоненциально сглаженные временные ряды при различных значениях параметра адаптации. Укажите, какой вре­менной ряд носит более гладкий характер.

Решение.

Определим S0 = .

Найдем значения экспоненциальной средней при = 0,2.

Согласно (5.8)

Аналогичны вычисления для = 0,5 и = 0,8. Результаты расчетов экспоненци­ально сглаженных рядов при различных значениях параметров адаптации представ­лены в табл. 5.5.

Таблица 5.5

Экспоненциальные средние для временного курса доллара США

Дата Порядковый номер уровня, t Курс доллара США Экспоненциальная средняя  
 
 
09.01.2013 30,3727 30,3423 30,3537 30,3651  
10.01.2013 30,4215 30,3582 30,3876 30,4102  
11.01.2013 30,3650 30,3595 30,3763 30,3740  
14.01.2013 30,2537 30,3384 30,3150 30,2778  
15.01.2013 30,2607 30,3228 30,2879 30,2641  
16.01.2013 30,2556 30,3094 30,2717 30,2573  
17.01.2013 30,3399 30,3155 30,3058 30,3234  
18.01.2013 30,3431 30,321 30,3245 30,3392  
21.01.2013 30,2065 30,2981 30,2655 30,2330  
22.01.2013 30,2970 30,2979 30,2812 30,2842  
23.01.2013 30,1950 30,2773 30,2381 30,2128  
24.01.2013 30,2292 30,2677 30,2337 30,2259  
25.01.2013 30,1648 30,2471 30,1992 30,1770  
28.01.2013 30,0451 30,2067 30,1222 30,0715  
29.01.2013 30,0782 30,181 30,1002 30,0769  
30.01.2013 30,1513 30,1751 30,1257 30,1364  
31.01.2013 30,0277 30,1456 30,0767 30,0494  
01.02.2013 30,0161 30,1197 30,0464 30,0228  
04.02.2013 29,9966 30,0951 30,0215 30,0018  
05.02.2013 29,9251 30,0611 29,9733 29,9404  
06.02.2013 30,1231 30,0735 30,0482 30,0866  

 

На рис. 5.6 наглядно проявляется влияние значения параметра адаптации на ха­рактер сглаженного ряда. При = 0,2 экспоненциальная средняя носит более глад­кий характер, так как в этом случае в наибольшей степени поглощаются случайные колебания временного ряда.

Рис.5.6. Экспоненциальное сглаживание временного ряда курса доллара США при различных значениях параметра адаптации

 

Выражение (5.8) можно представить по-другому, перегруппировав члены:

Величину t - St-1) можно рассматривать как погрешность прогно­за. Тогда новый прогноз получается в результате корректировки пре­дыдущего прогноза с учетом его ошибки. В этом и состоит адаптация модели.

При краткосрочном прогнозировании желательно как можно быст­рее отразить изменения ряда и в то же время очистить ряд, отфильтровав случайные колебания. Для этого величине следует присвоить одно из промежуточных значений в интервале от 0 до 1. Если в результате экс­периментальных расчетов получено наилучшее значение , близкое к 1, то целесообразно проверить правомерность выбора модели данного ти­па. Р. Браун рекомендовал брать значения в пределах 0,1—0,3.

Иногда поиск этого значения параметра осуществляется путем пере­бора на сетке значений. В этом случае в качестве оптимального выбира­ется то значение а, при котором получена наименьшая дисперсия ошибки.

Следует отметить, что выбор значения параметра должен зависеть от периода упреждения прогноза. Для оперативных, конъюнктурных прогнозов в большей степени должна учитываться свежая информация, поэтому значение следует брать большим. При увеличении срока про­гнозирования более поздняя информация, последние данные должны иметь несколько меньший вес, конъюнктурные колебания должны быть сглажены, но прошлые уровни — учтены. Для этих целей значение следует уменьшить.

Таким образом, экспоненциальное сглаживание является примером самообучающейся модели. К ее безусловным достоинствам относится чрезвычайная простота вычислений, выполняемых итеративно, причем массив прошлой информации уменьшен до единственного значения.








Дата добавления: 2016-03-22; просмотров: 1062;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.014 сек.