Точная идентифицируемость

Допустим, требуется оценить параметры уравнения функции потребления в простой модели Кейнса формирования доходов:

(3)

где — объем потребления, совокупный доход и инвестиции соответственно, а — случайный член.

Структурный коэффициент характеризует предельную склонность к потреблению.

В исходной модели — эндогенные переменные, а — экзогенная. Непосредственное оценивание параметров ( ) в структурном уравнении функции потребления дает смещенные и несостоятельные оценки, так как объясняющая переменная является эндогенной.

Разрешая структурную систему относительно эндогенных переменных, получим приведенную систему:

(4)

В приведенной системе коэффициенты при переменной равные и — это инвестиционные мультипликаторы потребления и дохода соответственно. Это значит, что если объем инвестиций возрастет на единицу, то объем потребления увеличится на , а совокупный доход — на .

Рассмотрим различные методы оценивания структурных коэффициентов .

Косвенный метод наименьших квадратов. Уравнение для в приведенной форме можно также представить в виде:

(5)

где (6)

В этом уравнении экзогенная переменная некоррелирована со случайным членом поэтому для оценки параметров ( ') можно использовать обычный МНК.

Замечание. Для удобства рассмотрения оценку параметра и сам параметр будем в дальнейшем обозначать одним символом (параметром).

Оцененное уравнение (5), полученное по выборочным данным с помощью МНК,

дает несмещенные и состоятельные оценки параметров.

Из выражения (6) получаем оценки структурных коэффициентов:

(7)

Поскольку получены единственные оценки структурных коэффициентов через оценки ( ) приведенных коэффициентов, то структурное уравнение функции потребления является однозначно определенным (точно идентифицируемым).

Метод инструментальных переменных.Проблема коррелированности объясняющей переменной Y, со случайным членом в структурном уравнении (3) для может быть разрешена с помощью метода ИП.

Для применения метода ИП необходимо найти такую инструментальную переменную, которая обладает следующими свойствами:

1) коррелирует с неудачно объясняющей переменной ;

2) не коррелирует со случайным членом .

В данном случае модель сама предоставляет такую переменную. Величина коррелирует с , поскольку зависит от в уравнении (4), и не коррелирует с поскольку является экзогенной переменной.

Оценка с помощью инструментальной переменной определяется как

Полученная оценка эквивалентна , — оценке с помощью КМНК. Действительно, из соотношения (7) и учитывая, что рассчитывается как соv(I, C)/var(I), получим

посколькусоv(I, Y) = соv(I,I+ С) = var(I) + cov(I, С).

В общем случае, когда оценка, полученная косвенным методом, единственна, она совпадает с оценкой, полученной методом ИП, т.е. КМНК можно рассматривать как частный случай метода ИП.

Пример 1. Для некоторой страны имеются данные о совокупном доходе Y, объеме потребления С и инвестициях I, полученные за 10 лет (усл. ед.):