Сверхидентифицируемость

Рассмотрим следующую простую модель Кейнса формирования доходов:

(8)

где — объем потребления, совокупный доход, инвестиции и государственные расходы соответственно, а — случайный член.

В исходной модели — эндогенные переменные, а — экзогенные.

Разрешая структурную систему относительно эндогенных переменных, получим приведенную систему

(9)

Рассмотрим различные методы оценивания структурных коэффициентов ( ).

Метод инструментальных переменных. В структурном уравнении функции потребления в качестве инструментальных переменных для можно использовать как так и . Полученные при этом оценки ( ) будут различаться, но в обоих случаях они состоятельны.

Наилучшее решение в данном случае — применение инструментальной переменной, которая является комбинацией и .

Структурное уравнение с избыточным числом экзогенных переменных, которые можно использовать как инструментальные, является переопределенным (сверхидентифицируемым).

Двухшаговый метод наименьших квадратов. Двухшаговый МНК можно рассматривать как частный случай инструментальных переменных. В методе ИП было показано, что структурное уравнение функции потребления оказалось переопределенным и сразу две переменные и можно использовать для .

Однако вместо их раздельного применения можно предложить их комбинацию В этом случае требуется оценить значения коэффициентов .

Фактически вместо можно использовать оценку приведенного уравнения , т.е. .

Подставляя теоретические значения вместо фактических значений в структурное уравнение функции потребления, получим уравнение ,

которое оценивается обычным МНК. При этом оценки структурных коэффициентов будут состоятельными.

Двухшаговый МНК можно рассматривать как способ конструирования наилучшей из возможных комбинаций инструментальных переменных, если в уравнении имеется избыток экзогенных переменных, которые можно использовать как инструментальные.

Пример 2. Д ля некоторой страны имеются данные о совокупном доходе Y , объёме потребления С, инвестициях I и государственных расходах G, полученные за 10 лет (усл. ед.):

Построим функцию потребления, используя модель Кейнса формирования доходов (8).

Непосредственное оценивание структурного уравнения функции потребления обычным МНК приводит к следующим результатам:

= 109,8 + 0,4Y,

т.е. оценки = 109,8, = 0,4.

Было показано, что исходная модель (8) сверхидентифицируема, поэтому для оценки ее структурных коэффициентов используем ДМНК.

Расчетные значения эндогенной переменной Y, полученные МНК:

= 201,7 + 1,29I +1,14G.

Подставим расчетные значения вместо фактических значений в структурное уравнение функции потребления и оценим полученное уравнение МНК:

= 171,3 + 0,156Y, т.е. оценки = 171,3, = 0,156.

Оценки структурных коэффициентов функции потребления, полученные ДМНК, являются состоятельными.