Теорема Гаусса-Маркова

В классическом множественном регрессионном анализе обычно делаются следующие предпосылки:

1. Математическое ожидание случайного члена равно нулю в любом налюдении

(3.30)

2. Дисперсия случайного члена постоянна для всех наблюдений

. (3.31)

3. Значения случайного члена в любых наблюдениях и не коррелируют между собой

Cov( ) = 0 (i ≠ j). (3.32)

Это условие с учетом того, что М( ) = М( ) = 0 принимает вид

M( ) = 0 (i ≠ j). (3.33)

4. Случайный член должен быть распределен независимо от объясняющих переменных в одних и тех же наблюдениях

Cov( ) = M( ) = 0, (3.34)

где было учтено, что М( ) = 0.

Следует сказать, что последнее условие заведомо выполняется, если

объясняющие переменные считаются детерминированными величинами.

5. Матрица является неособенной, т. е. столбцы матрицы X линейно независимы.

6. Значения случайного члена распределены по нормальному закону.

Модель (3.6), удовлетворяющая приведенным предпосылкам 1- 6, называется классической нормальной линейной моделью множественной регрессии.

Модель (3.6), удовлетворяющая приведенным предпосылкам 1- 5, называется классической линейной моделью множественной регрессии.

Согласно теореме Гаусса-Маркова, при выполнении указанных предпосылок оценки параметров линейной множественной регрессии (3.13), полученные методом наименьших квадратов, будут несмещенными и эффективными (т. е. будут иметь наименьшую дисперсию) в классе линейных несмещенных оценок.

Нарушение одного из условий Гаусса-Маркова приводит к нарушению

эффективности оценок, т. е. в классе несмещенных оценок можно найти такие, которые имеют меньшую дисперсию.

После построения модели необходимо вычислить значения остатков еi и проверить выполнение предпосылок 1- 6, так как их нарушение снижает качество модели. Если условия нарушаются, то следует модернизировать модель соответствующим образом. Эти вопросы будут рассмотрены далее.