Лекция 4. Метод конечных разностей. Метод граничных

Элементов

Для приближенного решения задач теплопроводности и некоторых задач газовой динамики широко применяется метод конечных разностей (метод сеток). В нем область непрерывного изменения функциональной зависимости заменяется расчетной сеткой – дискретным множеством точек (узлов).

Частные производные, входящие в дифференциальные уравнения и граничные условия, заменяются разностными соотношениями. В результате такой замены решение задачи в частных производных сводится к решению системы разностных алгебраических уравнений. Несмотря на то, что число неизвестных в этой системе значительно, решение ее упрощается, а с применением ЭВМ не вызывает проблем.

Пусть температура тела изменяется от a = 100 °C до b=500 °C. При равномерном разбиении интервала имеем: x_i = a+ih, где
i = 0, 1,..., N+1, а .

Пусть некоторая функция f(x) = u является аналитической, разложим ее в ряд Тейлора в окрестностях точки x_i.

Сложив оба выражения, получим изменение функции в узле i.

,

а если вычтем, то получим с точностью до более высокого порядка малости: .

Для двумерной величины получаем сетку на плоскости: с шагом h по оси х и h по оси y.

В точках задаются граничные условия:

u(x=k=0)=a; u(x=k=N+1)=b

или значения u₀ и u_N+1 определяются из граничных условий.

При использовании метода МКР нужно выбирать правильно шаг сетки и вид шаблона. Под шаблоном понимают множество узловых точек, значения в которых используются для аппроксимации производной в одной конкретной точке.

Примеры шаблонов для одномерных и двумерных задач приведены на рис. 4.1 и 4.2. Кружком большего диаметра обозначены узлы, в которых аппроксимируется производная. Черными точками обозначены узлы, значения переменной в которых входят в вычисление искомой производной. Числа около узла – это коэффициент, с которым значение переменной узла входит в шаблон вычисления. Для одномерных шаблонов (см. рис. 4.1) показана аппроксимация производных в точке К.

На рис. 4.2 показаны шаблоны для двумерных задач: ;

;

.

, – центральная разность.

– правое разностное отношение.

– левое разностное отношение.

Метод граничных элементов (МГЭ) отличается от метода конечных элементов (МКЭ) тем, что он позволяет решать задачи с использованием дискретизации лишь границы области. В то время как МКЭ и МКР требуют дискретизации всей расчетной области и расчет проводится с определением значений функции на всех узлах сеток, в МГЭ предусмотрен предварительный переход от исходной краевой задачи для дифференциальных уравнений, описывающих процесс, например, теплопередачи или НДС детали к соотношениям, связывающим функции на границе области. Эти соотношения представляют собой граничные интегральные уравнения или особые функционалы. При этом число узлов уменьшается в два и более раз, возникает возможность выполнять расчеты для бесконечных областей, а также для решения задач, имеющих трещины, вычислять колебания волн в заливе и т.п. Однако данный метод пока наиболее эффективен для двумерных областей (на плоскости).