Формулы законов и свойств алгебры логики

1) 1 + 1 = 1; 2) 1 + 0 = 1; 3) 0 + 0 = 0; 4) 1 · 1 = 1; 5) 1 · 0 = 0; 6) 0 · 0 = 0; 7) 1 = 0; 8) 0 = 1; 9) 1 = 1; 10) 0 = 0;	11) 1 + a = 1; 12) 1 + a = 1; 13) 1 · a = a; 14) 1 · a = a; 15) 0 + a = a; 16) 0 + a = a; 17) 0 · a = 0; 18) 0 · a = 0;	19) a + a = a; 20) a + a = 1; 21) a · a = a; 22) a · a = 0; 23) a + b = b + a; 24) a · b = b · a; 25) a + b = a · b; 26) a · b = a + b; 27) a + a·b = a; 28) a+ a·b=a+ b;	29) a = a; 30) a·(a + b) = a; 31) a·b + a·b = a; 32) (a + b)(a + b) = a; 33) a·(b +c) = a·b + a·c; 34) a+bc=(a+b) (a+c); 35) (a+b) + c = a + (b+c); 36) (a · b)c = a (b · c);
Примечание. Жирным шрифтом выделены формулы, вид которых специфичен для Булевой алгебры.

Эта форма переключательной функции называется дизъюнктивной. Количество переменных в этой форме минимизируется применением формул 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 29 и 31.

На этом этапе минимизации получится, так называемая, минимальная нормально-дизъюнктивная форма (НДФ).

F_{X min} = a + b c c + b a b c + c =

= a + 0 + 0 + c = a + c .

В данном случае минимальная дизъюнктивная форма является тупиковой, так как количество элементарных переменных в формуле переключательной функции уменьшить нельзя. Применив формулу 26, получим выражение переключательной функции, которое можно реализовать на логической микросхеме И–НЕ любой из выше указанных серий. Например, серий 133 или 155.

F_{X min} = a + c = a c.

Для проверки правильности преобразования необходимо установить тождество исходной и тупиковой переключательных функций. Эту проверку выполним с помощью таблицы истинности п17.2.2 (таблицы состояний) на 3 входных переменных.

Как следует из таблицы истинности, реакция схемы исходной переключательной функции и реакция схемы с полученной тупиковой функцией при всех комбинациях сигналов датчиков одинаковы. Следовательно, эти два устройства взаимозаменяемы, но логическое устройство с переключательной функцией F_{X min} более экономично, так как содержит только одну микросхему по сравнению с другим устройством, которое выполнено на шести микросхемах.

Таблица п17.2.2

Таблица истинности для функций F_X и F_{X min}

Пример № 17.3

Для переключательной функции

составить принципиальную электрическую схему управления электромагнитом в релейно-контактном исполнении.

Решение

Для построения схемы воспользуемся типовыми вариантами схемной реализации логических функций с помощью релейно-контактных электромеханических элементов – электрических кнопок и выключателей, электроконтактных датчиков-реле физических величин, электромагнитных реле и магнитных пускателей, силовых электромагнитов и электромагнитных муфт сцепления и т.п. (см. табл. п17.3.1).

Таблица п17.3.1