Сравнение финансовых потоков и рент

При принятии финансовых решений часто возникает необходимость выбора между финансовыми потоками с различными параметрами. Для обоснованного принятия решений необходимо уметь сравнивать финансовые потоки и ренты. При сравнении финансовых потоков и рент какие то их параметры должны быть одинаковы, какие то параметры должны быть сопоставимы, а какие то параметры могут отличаться. Сравнение финансовых потоков и рент должно осуществляться по конечной наращенной или современной их стоимости, при этом рассматриваются финансовые потоки с равными сроками. На рис. 2.9. приведены зависимости современной А и наращенной конечной S стоимостей годовой ренты от годовой процентной ставки при сроке ренты 2 и 5 лет. Из рисунка видно, что с увеличением годовой процентной ставки современная стоимость ренты А уменьшается, а наращенная, конечная стоимость ренты увеличивается.

Рис. 2.9. Зависимость современной и наращенной стоимостей годовой ренты

Рассмотрим два потока

отличающиеся лишь размерами платежей . Вполне очевидно, что при выполнении условия

при (2.68)

современная дисконтированная, и конечная наращенная стоимость при любых значениях процентной ставки "i" будет больше для первого потока. Аналогично первый финансовый поток будет предпочтительным для любых значений процентной ставки дисконтирования при выполнении условия

(2.69)

Но при выполнении условий (2.68) и (2.69) первый и второй финансовые потоки не являются сопоставимыми (эквивалентными), а значит, их сравнение по стоимости является не корректным. Введем условие сопоставимости финансовых потоков в виде

(2.70)

То есть сопоставимыми будем считать финансовые потоки, у которых сроки ренты и сумма всех платежей одинаковы. Сравним между собой годовую и r-срочную ренту. Для этих двух рент условие сопоставимости (2.70) выполняется, когда размер платежей r-срочной ренты в r раз меньше платежей годовой ренты Тогда для отношения современной (или наращенной) стоимости r-срочной ренты к современной (или наращенной) стоимости годовой ренты в соответствии с формулами (2.6), (2.8) и (2.21), (2.23) получим

(2.71)

Из формулы (2.71) видно, что отношение не зависит от срока ренты "n".

Рис. 2.10. Зависимость отношений от количества платежей в году

На рис. 2.10 приведены графики зависимости отношений от количества платежей в году r при двух значениях годовой процентной ставки. Из приведенных графиков видно, что r-срочная рента является более предпочтительной по сравнению с годовой рентой.

Сравним между собой обычную годовую и арифметическую ренту. Вычислим размеры платежей арифметической ренты, при которых выполняется условие сопоставимости рент (2.70). При сроке рент равном "n" лет суммарные платежи для обычной годовой ренты будут равны nR.

Для арифметической ренты суммарные платежи будут равны

(2.72)

Тогда условие сопоставимости обычной годовой и арифметической рент можно записать в виде

(2.73)

Подставив формулу (2.73) в (2.56) с учетом формул (2.7) и (2.8) для отношения наращенных стоимостей арифметической к годовой ренте получим

(2.74)

где

Рис. 2.11. Зависимость отношений от годовой процентной ставки(1 – n = 5, 2 – n = 3, 3 – n = 3, 4 – n = 3,

5 – n = 3, 6 – n = 5,

Графики зависимости отношения S_a/S от значений процентной ставки "n" при различных значениях срока ренты "n" и относительной разности арифметической прогрессии приведены на рис. 2.11. Из приведенных графиков видно, что при убывающей арифметической прогрессии предпочтительной является арифметическая рента. При возрастающей арифметической прогрессии платежей предпочтительной оказывается обычная годовая рента. Причем скорость возрастания при (убывания при ) отношения S_a/S увеличивается при увеличении срока ренты "n" и относительной разности арифметической прогрессии платежей.

Приведем сравнение геометрической ренты с обычной годовой рентой. Вычислим размеры платежей геометрической ренты, при которых выполняется условие сопоставимости (2.70) сравниваемых рент

(2.75)

Подставив формулу (2.75) в (2.64) с учетом формул (2.7) и (2.8) для отношения конечных наращенных сумм геометрической и простой годовой рент получим

(2.76)

При данная формула может быть преобразована к виду

(2.77)

Рис. 2.12. Зависимость отношений от годовой процентной ставки(1 – n = 5, 2 – n = 3, 3 – n = 3, 4 – n = 3,

5 – n = 3, 6 – n = 5,

На рис. 2.12 приведены графики зависимости отношения от годовой процентной ставки "i" при различных значениях срока ренты "n" и величины " ", характеризующей темпы роста платежей. Из приведенных графиков видно, что при убывании размеров платежей предпочтительной оказывается геометрическая рента по сравнению с годовой рентой. При предпочтение следует отдать обычной годовой ренте. Скорость изменения отношения увеличивается при увеличении срока ренты "n" и темпов изменения размеров платежей " ".

Оценим на сколько предпочтительной является рента с m-кратным начислением процентов по сравнению с обычной годовой рентой. Для этого вычислим отношения и используя формулы (2.46) и (2.48), а также формулы (2.6) и (2.8)

(2.78)

где - эффективное значение годовой процентной ставки при m-кратном начислении процентов.

Рис. 2.13. Зависимости отношений и от кратности начисления процентов "m"

Результаты расчетов отношений и от кратности начисления процентов m по формулам (2.78) приведены на рис. 2.13 для двух значений годовой процентной ставки и срока ренты Из приведенных графиков видно, что при увеличении кратности начисления процентов увеличивается отношение и уменьшается отношение . Из этого следует, что рента с m-кратным начислением процентов является более предпочтительной по сравнению с обычной годовой рентой. При увеличении годовой процентной ставки "i" и срока ренты "n" отношение увеличивается. Так например, i = 0,24 и сроке ренты n = 5 лет конечная наращенная сумма ренты с ежемесячным начислением процентов m = 12 примерно на 5,6 % превышает конечную наращенную сумму обычной годовой ренты.

Приведем сравнение r-срочной ренты при m-кратном начислением процентов с обычной годовой рентой. Современная и финальная наращенная стоимости r-срочной ренты при m-кратном начислении процентов определяются формулами (2.50) при и формулами (2.51) при Для сравнения рент поделим значения стоимостей и r-срочной ренты при m-кратном начислении процентов на соответствующие значения стоимостей простой годовой ренты и получим

(2.79)

где эффективное значение годовой процентной ставки при m-кратном начислении процентов.

Формулы ( ) применяются для случая . При формулы ( ) упрощаются и могут быть записаны в виде

(2.80)

Графики зависимости отношений и от кратности начисления процентов "m" приведены на рис. 2.14.

Рис. 2.14. Зависимости отношений и от кратности начисления процентов "m"

Расчет проводился для годовой процентной ставки i = 0,24 и сроке ренты n = 5 лет.

При равенстве значений отношения и увеличиваются с ростом кратности начисления процентов "m". При отношение увеличивается, а отношение уменьшается с ростом кратности начисления процентов.

При справедливы неравенства и , а при наоборот и из приведенных расчетов следует, что наиболее предпочтительная является r-срочная рента с m-кратным начислением процентов при Так например, при годовой процентной ставке i = 0,24 и сроке ренты n = 5 лет, рента с ежемесячными платежами r = 12 и ежемесячным начислением процентов m = 12 дает выигрыш по конечной наращенной сумме примерно на 18 % по сравнению с обычной годовой рентой.

Конверсия рент

В условиях меняющейся экономической ситуации, финансового состояния субъектов экономической деятельности, особенно в условиях кризиса, часто возникает необходимость изменений условий выплаты ренты, т. е. заменить одну ренту другой или разовым платежом, либо наоборот разовый платеж заменить рентой (рассрочка платежа), а также заменить несколько рент одной. Все вышеперечисленные операции называют конверсией рент. При конверсии рент должно выполняться одно общее правило – в момент заключения сделки о конверсии рент t_k современные стоимости старых рент, приведенных к моменту времени t_k и современные стоимости новых рент должны быть равны. Это правило следует из естественного требования, чтобы конверсия рент не меняла финансового положения сторон сделки, т. е. на момент заключения сделки о конверсии рент должен соблюдаться принцип их финансовой эквивалентности.

Данный принцип определяет следующий алгоритм расчета параметров новой ренты.

1. Определяется современная стоимость старой (старых) рент, приведенная к моменту заключения сделки t_k о конверсии рент.

2. В случае объединения нескольких рент современные их стоимости, приведенные к моменту времени t_k складываются и дают современную стоимость новой ренты.

3. Зная современную стоимость новой ренты, рассчитываются параметры новой ренты.

Рассмотрим такие примеры конверсии рент как рассрочка платежа; выкуп ренты; замена одной ренты новой рентой; замена нескольких рент с разными параметрами одной новой рентой.

1) Рассрочка платежа. Предположим, что некоторый субъект экономической деятельности (должник) имеет задолженность в сумме рублей перед кредитором, которая должна быть погашена в установленное время t₀. При невозможности погасить задолженность в установленное время за счет собственных средств должник может обратиться в банк с просьбой о предоставлении ему кредита в сумме , или договориться с кредитором о погашении задолженности не единовременным платежом, а рентными платежами. При этом все условия предоставления и погашения банковского кредита или рентных платежей кредитору определяются из условия равенства долга современной стоимости ренты.

При погашении задолженности за счет банковского кредита все параметры ренты по погашению кредита определяются методикой банка. При согласии кредитора заменить единовременное погашение задолженности рентными платежами все параметры ренты (R, r, i, n) определяются договоренностью должника и кредитора.

2) Выкуп ренты. Выкупом ренты называется замена ренты единовременным платежом. Данную операцию рассмотрим на примере погашения кредита аннуитетом. Предположим, что кредит на сумму "D" руб. выдан на "n" лет под "i" процентов годовых и его погашение осуществляется постоянными ежеквартальными платежами. График платежей в погашение кредита представляет собой r-срочную ренту постнумерандо (r = 4) с количеством платежей равном "r n". Размер аннуитета для данной ренты определяется формулой (2.33)

Ссудозаемщик регулярно осуществлял выплаты по кредиту в течение "k" платежей (см. рис. 2.15)

Рис. 2.15

При наступлении k-того платежа вместе с очередным платежом у ссудозаемщика появилась возможность досрочного погашения всей оставшейся задолженности по кредиту. Приведенную стоимость данной ренты к моменту k-того платежа по аналогии с (2.1) можно записать в виде

(2.81)

Первые k слагаемых в формуле (2.81) определяют конечную стоимость выплаченной части ренты

(2.82)

Остальные nr – k слагаемых в формуле (2.81) определяют стоимость невыплаченной части ренты, приведенной к моменту времени k-того платежа

Эта стоимость определяет оставшуюся не выплаченную при k-том платеже сумму кредита D_k.

Для полного погашения кредита вместе с k-тым платежом должна быть внесена сумма

(2.83)

Рассчитываем сумму необходимую для досрочного погашения кредита при k = 2 втором платеже для примера, рассматриваемого в п. 2.4. в данном примере рассматриваются следующие исходные данные D = 100 тыс. руб., n = 1 год, r = 4, i = 20 %. Размер разового квартального платежа составляет руб.

В соответствии с формулой (2.83) необходимая сумма для полного погашения кредита

руб.

Данная сумма совпадает с текущей оставшейся задолженностью по кредиту, приведенной в табл. 2.1 п. 2.4 при втором (k = 2) платеже.

3) Замена двух рент одной новой рентой. Рассмотрим две ренты, график платежей по которым приведен на рис. 2.16.

Рис. 2.16

Первая рента является годовой рентой с ежегодными платежами R₁, годовой процентной ставкой i₁ и сроком ренты n₁ – лет. Вторая рента является r-срочной рентой с платежами размером годовой процентной ставкой i₂ и сроком ренты n₂ лет (n₂r₂ – платежей).

Дата начала второй ренты t₂₀ от даты начала первой ренты t₁₀ сдвинута на "m" лет, то есть Плательщик рент принял решение с даты t_k объединить оставшиеся выплаты по первой и второй рентам и заменить их третьей рентой. Будем считать, что дата конверсии рент t_k удовлетворяет условию то есть по первой ренте до даты t_k совершено k платежей и осталось совершить n₁ – k платежей. Приведенную стоимость первой ренты к дате t_k по аналогии с (2.1) можно записать в виде

Приведенная к дате t_k стоимость невыплаченной части первой ренты является суммой (n₁ – k) членов убывающей геометрической прогрессии с первым членом , знаменателем и определиться формулой

Из рис. 2.16 видно, что по второй ренте до даты t_k совершено платежей. Приведенную стоимость второй ренты к дате t_k, по аналогии (2.81) можно записать в виде

Из данной формулы видно, что приведенная к дате t_k стоимость невыплаченной части второй ренты является суммой ( членов убывающей геометрической прогрессии с первым членом , знаменателем и определится формула

При замене нескольких рент одной новой рентой должно обеспечиваться равенство суммы, приведенных к дате t_k стоимостей старых рент современной стоимости новой ренты

.

Параметры новой ренты определяются из условия

(2.84)

где и n₃ – параметры новой ренты. Срок новой ренты n₃ отсчитывается от даты t_k в годах. При расчете параметров новой ренты все параметры кроме одного должны быть определены по договоренности сторон, заключающих сделку о конверсии рент, а неизвестный параметр, например , определяется из уравнения (2.84).