Составляем систему алгебраических уравнений методом узловых напряжений, согласно первому закону Кирхгофа.

I₁+J₄-I₂=0

I₂-I₃-I₄=0

4. V₁,V₂ – узловые напряжения узлов 1 и 2 соответственно. Выражаем токи ветвей через узловые напряжения на основе 2 закона Кирхгофа для вспомогательных контуров, которые обязательно проходят через базисный узел, и закона Ома:

I₁∙R₁+V₁ =E₁, I₂∙R₂+V₂-V₁= -E₂, I₃∙(R₃+R)-V₂ =E₃ (V=U).

После подстановки формул токов данная система уравнений переводится в систему узловых уравнений, записанную в канонической форме. Число уравнений должно быть равно числу неизвестных узловых напряжений.

Для 1 уравнения получим

. Затем можно поменять знаки и получить уравнение . Аналогично для 2 уравнения получим

. Эти уравнения приводят к стандартному каноническому виду:

где – это собственные проводимости соответственно узлов 1 и 2.

.

.

– взаимные проводимости между узлами 1 и 2.

I_У1, I_У2 – собственные или задающие узловые токи, соответственно, независимых узлов 1 и 2. В общем виде их можно представить в следующем виде:

,

,

где – алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей, примыкающих к узлу 1, на их проводимости, – алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей, примыкающих к узлу 2, на их проводимости; при этом со знаком "+" берутся те ЭДС, которые действуют в направлении узла, и со знаком "–" – в направлении от узла; – алгебраическая сумма токов источников тока, присоединенных к узлу 1, – алгебраическая сумма токов источников тока, присоединенных к узлу 2; при этом со знаком "+" берутся те токи, которые направлены к узлу, а со знаком "–" в направлении от узла. Для нашего случая токи I_У1, I_У2 имеют следующий вид:

.

.

Узловое напряжение – это напряжение между независимым и базисным узлами и направлено оно к базисному узлу. V₁,V₂ – узловые напряжения узлов 1 и 2 соответственно. Знак "+" перед узловым напряжением берётся, если это собственное узловое напряжение, в противном случае берётся знак "–".

Данную систему решаем методом Крамера. Составляем определитель второго порядка, в первую и вторую строки которого ставим значения проводимостей стоящих при напряжениях, соответственно в первом и во втором уравнениях нашей системы.

Затем составляем определитель , для этого в определителе в первом столбе значения проводимостей заменяем значениями токов, стоящих в правой части нашей системе.

После чего вычисляем напряжение по следующей формуле:

Аналогично находим напряжение

6. Находим токи ветвей через узловые напряжения:

Общая форма записи системы уравнений по МУН с узловыми напряжениями (потенциалами) V_K, собственными проводимостями узлов G_KK, взаимными проводимостями между узлами G_KM и узловыми токами.

Переменные токи и напряжения

Основные понятия и параметры

Под переменным током или напряжением понимают ток или напряжение, меняющееся периодически по гармоническому закону косинуса или синуса.

i(t)=I_m ·cos(w∙t+j_i),

где I_m – амплитуда тока;

j_i - начальная фаза тока [рад](равна- π/2, так как для косинуса отсчет идет от положительного максимума и по оси с +),

w∙t+j_i – мгновенная фаза в момент времени t.

ω = 2π∙f [рад/с] – угловая частота, f – циклическая частота [Гц]

Т - период колебания