Параллельный колебательный контур.

Если источник сигнала подключен параллельно элементам L и С, то контур называется параллельным.

При параллельном включении напряжение действующее на L и С одно и тоже, а токи протекающие в L и С разные.

В идеальном контуре без потерь в случае равенства Х_С и Х_L (І_С и І_L), суммарный ток обращается в 0, то есть сопротивление контура приближается к бесконечности.

Если же частота сигнала спадает, то Х_С становится больше чем X_L, следовательно I_С < I_L, то есть появляется ток отстающий на 90° от напряжения и следовательно сопротивление контура можно рассматривать как индуктивность.

В реальном контуре присутствуют потери сосредоточенные главным образом в катушке L. При наличии потерь сопротивление контура на резонансной частоте уже не бесконечно.

С учетом потерь, даже при резонансе (X_L = Х_С), ток в контуре не равен 0, а равен активной составляющей тока в цепи катушки (I_K = I_L + I_R).

Если частоту сигнала изменить в сторону увеличения, то сопротивление X_L возрастет, а Х_С спадет. Следовательно растет, a уменьшится.

Ток контура при этом тоже растет и приобретает емкостной характер (угол сдвига фаз φ между напряжением и током равен 0), общее сопротивление контура спадает, а реактивное увеличивается.

Если частоту уменьшать, то X_L уменьшится, а Х_С возрастет следовательно І_L возрастет, а І_С уменьшится. Ток общий и становится индуктивным (φ < 0). Резонансный ток растет, следовательно общее сопротивление (Z) контура уменьшается, а реактивное растет.

Если частоту сильно изменить, то X начинает убывать, так как при уменьшении частоты индуктивное сопротивление спадает, а при увеличении частоты емкостное сопротивление спадает. Таким образом на резонансной частоте контура сопротивление контура (Z) наибольшее и имеет активный характер (φ между напряжением и током равно 0), а при изменении частоты оно быстро уменьшается и приобретает комплексный характер.

В параллельном контуре как и в последовательном условием резонанса является равенства реактивных сопротивлений.

X_L = Х_C

Следовательно для параллельного контура остаются такие выражения для f₀, волнового сопротивления и добротности.

В отличии от последовательного контура в параллельном контуре добротность показывает во сколько раз ток в элементах контура больше тока потребляемого источника сигнала.

Математическое выражение для резонансного сопротивления параллельного контура (Z₀) выводится из условия, что ток в индуктивной ветви I_К определяется комплексным сопротивлением в этой ветви.

тогда (так как

─ резонансное сопротивление параллельного контура.

Так как резонансное сопротивление контура зависит от частоты, то его можно использовать для выделения сигнала нужных частот.

Кроме последовательного и параллельного контуров, называемых контурами 1-го вида, в радиотехнике часто применяют контуры П-го и Ш-го вида.

Особенностью контуров П-го вида является то, что у них есть две резонансные частоты f_0посл и f_0пар.

Например в контуре с двумя индуктивностями можно определить такую частоту (ω_посл), на которой L₂ и С образуют последовательный колебательный контур, но на частотах ниже ω_посл общее реактивное сопротивление цепи L₂C(x) имеет емкостной характер. Следовательно вместе с L₁ цепь L₂C образует параллельный колебательный контур. Частота последовательного резонанса определяется из условия:

а параллельного резонанса из условия:

Аналогично в контуре с двумя конденсаторами в цепи: C₂L наблюдается последовательный резонанс при условии ωL = 1/ωС₂ и параллельный резонанс при условии .

Эквивалентное сопротивление контуров П-го и Ш-го вида (R_0e), при параллельном резонансе меньше, чем у контура 1-го вида с теми же элементами.

Например если в контуре П-го вида с двумя катушками L₁ = L₂ = L, то R_0e для контура 1-го вида , а для контура П-го вида будет , то есть в четыре раза меньше.

Если обозначить отношение ─ коэффициент включения, то получится:

*

где р ≤ 1 ─ коэффициент включения.

Это соотношение справедливо также для контура Ш-го вида с двумя конденсаторами только в этом случае:

Из выражения * видно что для контура П-го и Ш-го вида шунтирующее действие внешней нагрузки ослабляется в 1/р² раз.

Подключение к параллельному контуру (либо к отдельному конденсатору или индуктивности) источника сигнала с внутренним сопротивлением R_i, либо другого внешнего сопротивления, уменьшит его сопротивление.

Например если к контуру с сопротивлением R_0е = p²/r подключить источник сигнала с сопротивлением R_і = R_0e, тогда эквивалентное сопротивление контура уменьшится в два раза (при )

Но это равносильно тому, что в контуре увеличилось сопротивление потерь r в два раза.

Следовательно между шунтирующим внешним сопротивлением и сопротивлением потерь существует обратно пропорциональная зависимость. Таким образом если к параллельному контуру подключено внешнее шунтирующее сопротивление R_ш, то это равносильно включению дополнительного сопротивления последовательно с катушкой индуктивности, ухудшающего добротность контура.

Например есть контур у которого:

ρ = Х_L =Х_C =100 Ом, на частоте 1000кГц, и r =1Ом.

Тогда Q = ρ/2 =100, П = 2Δf = f₀/Q =1000/100 =10Кгц

R_0e = ρ²/r = 10 кОм.

Если к этому контуру подключить источник сигнала (например антенну) с внутренним сопротивлением 1100 Ом, то это равносильно включению дополнительного сопротивления потерь.

Теперь

Таким образом пропускание увеличилось в 10 раз. Если же теперь подключить антенну к отводу от 1/10 витков, то

При этом полоса почти не расширяется, но ослабляется входящий сигнал из-за падения напряжения на R_і, при малом R_вх.

Связанные колебательные контуры

Контуры называются связанными, если энергия одного из них через элемент связи передается во второй. Элементом связи может быть, например магнитное поле, которое пересекает обороты катушки двух колебаний контуров, такая связь называется трансформаторной.

Если в первый контур подавать сигнал (U) с частотой равной резонансным частотам этих контуров, то в первом контуре возникнет ток І₁ совпадающий фазой с U. Этот ток создает в катушке L₁ магнитный поток Ф, который пересекает обороты катушки L₂ и вызовет в ней ЭДС взаимоиндукции U_1,2:

, т.к. , то , где М – взаимоиндуктивность.

Эта ЭДС вызовет ток І₂ совпадающий по фазе с U_1,2 (при резонансе R – активное). Ток І₂ вызовет ЭДС взаимоиндукции (U_2,1) катушки L₁.

Эта ЭДС направленная против U, поэтому суммарное напряжение и ток І₁ уменьшается. Это равнозначно потому, что увеличилось сопротивление потерь R_n1 в первом контуре. Таким образом, второй контур как бы вносит сопротивление в первый, причем тем больший, чем большая взаимоиндукция (М). Если частота сигнала не отвечает резонансным частотам контуров, то внесенное сопротивление будет иметь активную и реактивную составляющие.

Если f сигнала < f₀ контуров, то их сопротивление имеет емкостной характер. При этом токи в обоих контурах опережают напряжения .ЭДС U_2,1 можно представить активной и реактивной составляющими. Действие активной составляющей (U_2.1А)можно расценивать, как активное вносимое сопротивление. а реактивной (U_2.1Р),как реактивное вносимое сопротивление.

Таким образом, реактивная составляющая направлена одинаково с ЭДС самоиндукции U, то они суммируются и это равносильно увеличению индуктивности, то есть увеличению индуктивного сопротивления катушки. Поэтому Х_внес – индуктивное.

Если f_С > f₀ контуров, то их сопротивление носит индуктивный характер, а токи в обоих контурах отстают от напряжений.

В этом случае ЭДС U_2,1 также имеет активную (U_2,1А) и реактивную (U_2,1Р) составляющие, поэтому вносится активное и реактивное сопротивление. Причем реактивная составляющая направлена против ЭДС самоиндукции катушки L₁, то есть уменьшит напряжение на ней, поэтому реактивное внесенное сопротивление имеет емкостной характер.

Кроме трансформаторной связи между контурами может быть автотрансформаторная связь, и связь за счет внутренней и внешней емкости.

При любом виде связи, связь осуществляется путем сопротивления связи.

При трансформаторной связи, сопротивление связи определяется взаимоиндуктивностью.

При индуктивной связи, сопротивление связи определяется катушкой связи.

При индуктивной внутриемкостной связи, сопротивление связи зависит от емкости связи.

Аналогично, при зовніємнісному связи.

При любом виде связи, степень связи количественно оценивается коэффициентом связи.

,

где Х_св – реактивное сопротивление элемента связи. Х₁, Х₂ – реактивное сопротивление элементов контуров, которые имеют такой же характер, как и Х_св.

- Для трансформаторной связи:

.

- Для автотрансформаторной связи:

- Для внутриемкостной связи:

- Для внешнеемкостной связи:

Чем больше степень связи между контурами (К_св), тем больше вносимые сопротивления. Так как вносимое сопротивление имеет иной характер, чем сопротивление контура при расстройке (при f < f₀, X_K – носит емкостный характер, Х_внес – индуктивный и наоборот), то при увеличении К_св на частотах отличных от резонансной, может выполняться условие Х_внес – Х_К = 0, то есть возникает резонанс.

Таким образом, на частоте ниже f₀, сопротивление контура несет в себе емкостной характер, а Х_внес – индуктивный и на некоторой частоте f₁ возникает резонанс (нижняя частота связи). А на частоте выше f₀,сопротивление контура несет в себе индуктивный характер, а вносимое – емкостный характер, и на f₂ может возникнуть еще один резонанс (верхняя частота связи). При этом, если увеличивать К_св, то увеличивается Х_внес и частоты связи изменяются (раздвигаются относительно f₀), а если К_св уменьшашать, то и Х_внес тоже уменьшается и тогда частоты связи сближаются к f₀ .

При некотором К_св < К_критич частоты связи (резонансы) вообще не возникают, так как Х_внес < Х_к.

При К_св > К_критич в форме АЧХ на f_о появляется провал из-за того, что R_внес возрастает и становится больше, чем R_внес на частотах частотных резонансов. При К = К_критич ,R_внес= R_п1. Это условие выполняется и на частотах связи.

Качественные показатели связанных контуров определяются в зависимости от того, какие требования предъявляются к ним.

Чаще всего от связанных контуров требуется обеспечить определенную полосу пропускания при высокой крутизне АЧХ. В связанных контурах П (полоса) определяется не только через f₀ и Q, а и через К_св. При очень маленькой связи (К_св < К_критич) полоса связанных контуров меньше полосы одиночного контура почти в два раза. П_св=0,64 П_од (при К_св << К_критич).

При увеличении К_св полоса расширяется и при К_св=0,68К_критич она равна полосе одиночного контура П_св= П_од (при К_св=0,68К_кр).

При К_св= К_св, П_св= 1,41П_од.

С увеличением К_св ,П расширяется и при провале в АЧХ связанных контуров до уровня 0,707 К_св= 2,41К_кр, а П_св= 3,1П_од.

Следовательно в отличие от одиночных контуров в связанных колебательных контурах можно регулировать П изменением К_св.

Еще одним достоинством связанных контуров является более высокая крутизна скатов АЧХ. Это обьясняется тем, что ток второго контура зависит не только от f источника сигнала, но и от тока первого контура, который тоже уменьшается с изменением f.

В зависимости от настройки контуров различают первый частичный, второй частичный, а также полный и сложный резонанс.

Первый частичный резонанс наблюдается, если частота настройки первого контура совпадает с f источника сигнала, а частота второго не совпадает. В этом случае при расстройке первого контура ток его (І₁) уменьшается и потому уменьшается U_1,2 и ток второго контура (І₂) (f₀₁ зависит от f₀₂, так как зависит от Х_вн, которое зависит от f₀₂).

Второй частичный резонанс наблюдается, если f второго контура совпадает с f сигнала, a f первого не совпадает. Тогда при расстройке второго контура уменьшается І₂, но и уменьшается и вносимое им сопротивление в первый контур, поэтому ток І₁ увеличивается.

Чтобы получить полный резонанс необходимо каждый контур в отдельности настроить на f сигнала, при очень малой связи между ними, а затем можно увеличивать К_св до К_св=К_кр, при этом вносимые сопротивления будут незначительны и не появяются резонансы на частотах связи.

Только при полном резонансе можно добиться наибольшего КПД и наибольшей мощности во втором контуре. С увеличением К_св увеличивается R_вн, поэтому ток І₁ уменьшается.

С увеличением К_св растает ЭДС взаимоиндукции U_1,2, которая вызывает ток І₂. Но при К_св > К_кр ток І₂ уменьшается т.к. ток І₁ тоже уменьшается, a R_внес из первого во второй контур увеличивается