Из одной системы счисления в другую

Понятие системы счисления (СС) связано и определяется через ее основание «d». В свою очередь основание СС – это количество цифр, которое используется для представления чисел в данной системе. Отсчет цифр начинается с 0. Примеры различных СС и цифр, которые используются для представления чисел в СС:

d=5: 0, 1, 2, 3, 4

d=8: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

d=10: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9

d=16: 0, 1, 2, 3, 4, ,5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Для уточнения системы счисления, в которой представляется число, значение основания «d» СС записывается справа от самого числа, на месте индекса числа. Так, например, если необходимо подчеркнуть, что число 34 215 представлено в 8-й СС, то его можно записать в следующем виде: 34215₈. Существует формула десятичного эквивалента числа, представленного в СС с основанием «d»:

(a_na_n-1a_n-2…a₂a₁, b₁b₂…b_m )_d = a_nd^n-1 + a_n-1d^n-2 + …+ a₂d¹ + a₁d⁰ + b₁d^-1 +

+ b₂d^-2 +…+ b_md^-m

где a_i – цифры целой части числа, b_j – цифры дробной части числа.

При помощи данной формулы можно не только найти десятичный эквивалент числа представленного с основанием «d», но и сравнить числа, представленные в системах счисления, с разными основаниями.

Поскольку в ЭВМ используются три системы счисления, d₁ = 2, d₂ = 10, d₃ = 16, то, безусловно, должны быть правила перевода чисел из одной системы счисления в другую. Такие правила существуют, в ЭВМ они выполняются программно. Перевод чисел из СС с основанием «S» в СС с основанием «Н» для целых и дробных чисел выполняется по самостоятельным правилам. Ограничений на значения «S» и «Н» не существует.

Правило перевода целых чисел: для того чтобы число, представленное в старой «S» СС, перевести в новую СС с основанием «Н», необходимо само число и получающиеся частные от деления делить на основание «Н» новой СС, представленное в старой «S»-ой СС, до тех пор, пока частное от деления не будет меньше основания «Н» новой СС. Цифрами числа в новой «Н» -ой СС будут остатки частичных делений, записанные в порядке, обратном их получению.

Пример: перевести целое число 37561₁₀ из системы счисления S = 10 в систему счисления Н =8.

37561 8 37561₁₀=91316₈

32 4697 8

55 40 587 8

48 69 56 73 8

76 64 27 72 9

72 57 24 1

61 56 3

56 1

Правило перевода дробных чисел: для перевода дробного числа из СС с основанием «S» в СС с основанием «Н», необходимо дробную часть самого числа и дробные части получающихся частичных произведений умножать на основание «Н» новой СС, представленное в старой «S» СС. Цифрами дробного числа в новой «Н» СС будут целые части получившихся частичных произведений, записанные в порядке их получения.

Пример: перевести число 0,731₁₀ из системы счисления с основанием S = 10 в систему счисления с основанием Н = 2.

0 731

*2

1 462

*2

0 924

*2

1 848

*2

1 696

*2

1 392

*2

0 784

*2

1 568

0,731₁₀= 0,1011101₂

В машинной арифметике используется также система кодирования «8421», при помощи которой устанавливается связь между цифрами 8-, 10- и 16-ричной системами счисления и их двоичным представлением при помощи четырехразрядного двоичного числа (табл. 3.1):

a₄а₃а₂а_{1 2} = 2³а₄ + 2²а₃ + 2^1аа₁ + 2⁰а₁ = 8а₄ + 4а₃ + 2а₂ + 1а₁

8, 4, 2, 1 – это весовые коэффициенты двоичных разрядов α₄, α₃, α₂, α₁ соответственно. Поскольку цифра 2 является основанием и двоичной СС, и целых степеней, являющихся одновременно основаниями 8- и 16-ричной систем счисления: 8 = 2³, 16 = 2⁴, то в двоичной арифметике доказаны и сформулированы упрощенные правила перевода чисел из двоичной СС в 8- и 16-ричную и, наоборот, из 16- и 8-ричной СС в 2-ую.

Таблица 3.1

Система кодирования «8421»

Правило перевода из 8-ричной СС в 2-ичную СС: для перевода чисел, достаточно каждую восьмеричную цифру заменить триадой двоичных разрядов в целой и дробной частях числа в соответствии с табл. 3.1.

Пример: число 7321,03₈ перевести в 2-ую СС.

7 3 2 1 , 0 3₈

111 011 010 001 , 000 011

7321, 03₈ = 111 011 010 001, 000 011₂

Правило перевода из 2-ичной СС в 8-ричную СС: для перевода чисел, представленных в 8-ричной СС, в двоичную СС достаточно разбить разряды целой и дробной части числа вправо и влево от запятой на триады двоичных разрядов и каждую триаду заменить ее восьмеричным эквивалентом в соответствии с табл. 3.1.

Пример: число 10111011101, 1011011₂ перевести в 8-ричную СС.

10 111 011 101, 101 101 1₂ = 2735, 554₈

Правило перевода из 16-ричной СС в 2-ичную СС: для перевода чисел, представленных в 16-ричной СС, в двоичную достаточно каждую 16-ричную цифру в целой и дробной частях числа заменить тетрадой двоичных разрядов в соответствии с табл. 3.1.

Пример: число АВ30Е, С67₁₆ перевести в двоичную СС.

А В 3 0 Е, С 6 7

1010 1011 0011 0000 1110, 1100 0110 0111

АВ30Е, С67₁₆ = 10101011001100001110, 11000110111₂

Правило перевода из 2-ичной СС в 16-ричную СС: для перевода чисел, представленных в двоичной СС, в 16-ричную достаточно целую и дробную части двоичного числа разбить на тетрады двоичных разрядов вправо и влево от запятой, а затем каждую тетраду заменить ее 16-ричным эквивалентом в соответствии с табл. 3.1.

Пример: число 110111010111101,101111101100001₂ перевести в 16-ричную СС.

110 1110 1011 1101, 1011 1110 1100 0010₂

6 Е В D , В Е С 2

110111010111101, 101111101100001₂ = 6ЕВD, ВЕС2₁₆