Регрессионный анализ. Регрессионный анализ позволяет предсказать, чему в среднем будет равно значение одного признака при заданном значении другого признака.
Регрессионный анализ позволяет предсказать, чему в среднем будет равно значение одного признака при заданном значении другого признака.
Достаточно часто связь между двумя психологическими признаками имеет линейный характер:
у = a + bx, где
· y и x - анализируемые признаки;
· а - свободный член уравнения; при b = 0 получаем y = а, т.е. а - это точка, в которой линия регрессии пересекается с осью
OY (эту точку называют также «j-пересечением», или
«Intercept»);
· b - коэффициент регрессии, отражающий угол наклона
линии регрессии. Чем больше b отличается от 0, тем сильнее
связь между анализируемыми признаками.
Даже если связь между психологическими признаками носит нелинейный характер (например, экспоненциальный), практически всегда можно выделить участки, хорошо аппроксимируемые линейной регрессией.
Приведенное выше уравнение можно использовать для описания связи между двумя признаками лишь при выполнении следующих обязательных условий:
· зависимость между признаками носит линейный характер;
· оба признака распределены нормально.
Пример задачи: Исследователь должен определить коэффициенты линейного регрессионного уравнения, описывающего связь между показателями систолического давления и нервно-психической устойчивостью (НПУ) испытуемых.
Решение: Расчет коэффициентов регрессионных уравнений можно выполнить в нескольких модулях программы Statistica 6.0. Мы воспользуемся модулем Multiple Regression Analysis
(Анализ множественной регрессии).
В появившемся окне нажмите на кнопку Variables и укажите, какая из анализируемых переменных является зависимой (Dependent variable), а какая - независимой (Independent variable) (в нашем примере систолическое давление зависит от НПУ).
Нажмите на кнопку «ОК».
В итоге появится окно, которое уже на данном этапе анализа содержит некоторые важные его результаты:
а) Dependent: имя зависимой переменной;
б) No. of cases: число наблюдений;
в) Intercept: значение свободного члена регрессионного уравнения;
г) Std. error: стандартная ошибка свободного члена регрессионного уравнения;
д) Multiple R: коэффициент множественной корреляции;
е) R: коэффициент детерминации. Это очень важный показатель в регрессионном анализе. Он изменяется от 0 до 1 и отражает «качество» рассчитанной регрессии, показывая долю (%) общего разброса выборочных точек, которая «объясняется» построенной регрессией (например, при R2 = 0,85, следует вывод о том, что 85% дисперсии зависимой переменной y объясняется вариацией независимой переменной х);
ж) Adjusted R2: скорректированный на число степеней свободы коэффициент детерминации (Adjusted R-square = 1 - (1 - R-square)x[n/(n - p)], где n - число наблюдений, р - число независимых переменных плюс 1);
з) Standard error of estimate: параметр, отражающий степень разброса выборочных значений относительно линии регрессии;
и) F, dfиp: F-критерий, число степеней свободы, принятое при его расчете, и вероятность ошибки для нулевой гипотезы F-теста. F-тест в регрессионном анализе применяется для оценки статистической значимости модели. При p<0,05 можно заключить, что рассчитанная регрессия удовлетворительно описывает связь между исследуемыми признаками;
к) t(df) и p: критерий Стьюдента t используется для проверки нулевой гипотезы о равенстве 0 свободного члена регрессионного уравнения. Р - вероятность ошибки для этой нулевой гипотезы;
л) beta: стандартизованный коэффициент регрессии - это коэффициент регрессии, который мы получили бы в случае предварительной стандартизации обеих переменных (т.е. при таком преобразовании, когда их средние значения стали бы равны 0, а стандартные отклонения - 1). Расчет beta позволяет оценить, в какой степени значения зависимой переменной определяются значениями независимой переменной. Beta может оказаться особенно полезным показателем при включении в анализ нескольких независимых переменных, выражающихся в разных единицах измерения - в таком случае коэффициент отражал бы удельный вклад каждой из этих переменных в вариацию зависимой переменной. При наличии одной независимой переменной коэффициент beta идентичен Multiple R.
Нажмите кнопку «Summary: Regression results»(Результаты регрессионного анализа). Появится таблица с результатами анализа, в которой:
а) Beta: стандартизованный коэффициент регрессии;
б) Std. err. of beta: стандартная ошибка стандартизованного коэффициента регрессии;
в) В: один из самых важных столбцов в этой таблице, поскольку именно он содержит искомые значения свободного члена регрессионного уравнения (в строке Intercept) и коэффициента регрессии (нижняя строка таблицы);
г) Std. err. of B: стандартные ошибки коэффициентов уравнения;
д) t(df): значения t-критерия Стьюдента, который используется для проверки гипотезы о равенстве обоих коэффициентов уравнения 0;
е) p-level: вероятность ошибки для нулевой гипотезы о равенстве коэффициентов уравнения нулю.
Из итоговой таблица видно, что оба коэффициента регрессии статистически значимо отличаются от 0 (p < 0,05) и что в целом построенная регрессионная модель отлично описывает связь между систолическим давлением и нервно-психической устойчивостью. Само же рассчитанное уравнение мы можем записать следующим образом:
Н= 2,682 x А + 33,289, где Н - давление, А – нервно-психическая устойчивость человека.
Важной частью регрессионного анализа является анализ остатков (остатки представляют собой разности между наблюдаемыми значениями зависимой переменной и теми ее значениями, которые предсказываются регрессионной моделью). Он запускается путем нажатия кнопки «Perform residual analysis» (Выполнить анализ остатков) на закладке «Residuals /Assumptions /Predictions» (Остатки / Условия / Предсказания).
Первое, что нужно проверить в отношении остатков - это нормальностьих распределения. Для этого на закладке «Quick»подмодуля анализа остатков нажмите кнопку «Normal plot of residuals», чтобы построить график нормальных вероятностей. Если точки на этом графике достаточно тесно укладываются вдоль теоретически ожидаемой прямой, то можно заключить, что остатки распределяются нормально. Иначе линейная регрессионная модель для анализируемых переменных будет неприменима.
Второе условие в отношении остатков состоит в том, что их дисперсия должна оставаться неизменной во всем диапазоне значений анализируемых переменных. Для проверки этого условия на закладке «Scatterplots» (Диаграммы рассеяния) нажмите кнопку «Predicted vs. Residuals», чтобы построить график зависимости значений остатков от предсказываемых моделью значений зависимой переменной. Если проверяемое условие выполняется, то точки на этом графике будут располагаться хаотично, не проявляя никакой закономерности. Если же в расположении точек имеется тенденция (разброс увеличивается слева направо, точки тесно укладываются вдоль прямой, и т.п.), линейный регрессионный анализ также неприменим.
В рассмотренном примере оба условия в отношении остатков выполняются, что еще раз подтверждает адекватность рассчитанной регрессионной модели для описания связи между артериальным давлением и нервно-психической устойчивостью.
ЛИТЕРАТУРА
1) Дружинин В.Н. Экспериментальная психология. - СПб.: Питер, 2011.
2) Ермолаев О.Ю. Математическая статистика для психологов: Учебник. - М.: МПСИ, Флинта, 2011.
3) Корнилова Т.В. Экспериментальная психология: Теория и методы. - М.: Юрайт-Издат, 2012.
4) Куликов Л.В. Психологическое исследование: методические рекомендации по проведению. – СПб.: Речь, 2001. - с.90-92.
5) Практикум по общей, экспериментальной и прикладной психологии /Под ред. А.А.Крылова, С.А.Маничева. - СПб.: Питер, 2007.
6) Сидоренко Е.В. Методы математической обработки в психологии. – СПб.: ООО «Речь», 2000. – 350 с.
7) Худяков А. И. Экспериментальная психология в схемах и комментариях. – СПб.: Питер, 2008.
Приложение 1
Таблица 1
Значения критерия tst для отбраковки выпадающих вариант
при разных уровнях значимости (p).
p | p | ||||||
n | 0,05 | 0,01 | 0,001 | n | 0,05 | 0,01 | 0,001 |
- | - | - | - | - | - | - | - |
3,04 | 5,04 | 9,43 | 2,145 | 2,932 | 3,979 | ||
2,78 | 4,36 | 7,41 | 2,105 | 2,852 | 3,819 | ||
2,62 | 3,96 | 6,37 | 2,079 | 2,802 | 3,719 | ||
2,51 | 3,71 | 5,73 | 2,061 | 2,768 | 3,652 | ||
2,43 | 3,54 | 5,31 | 2,048 | 2,742 | 3,602 | ||
2,37 | 3,41 | 5,01 | 2,038 | 2,722 | 3,565 | ||
2,33 | 3,31 | 4,79 | 2,030 | 2,707 | 3,532 | ||
2,29 | 3,23 | 4,62 | 2,018 | 2,683 | 3,492 | ||
2,26 | 3,17 | 4,48 | 2,009 | 2,667 | 3,462 | ||
2,24 | 3,12 | 4,37 | 2,003 | 2,655 | 3,439 | ||
2,22 | 3,08 | 4,28 | 1,998 | 2,646 | 3,423 | ||
2,20 | 3,04 | 4,20 | 1,994 | 2,639 | 3,409 | ||
2,18 | 3,01 | 4,13 | ∞ | 1,960 | 2,576 | 3,291 | |
2,17 | 2,98 | 4,07 |
Таблица 2
Значение функции f(oi)
(ординаты нормальной кривой)
oi | Сотые доли oi | |||||||||
0,0 | ||||||||||
0,1 | ||||||||||
0,2 | ||||||||||
0,3 | ||||||||||
0,4 | ||||||||||
0,5 | ||||||||||
0,6 | ||||||||||
0,7 | ||||||||||
0,8 | ||||||||||
0,9 | ||||||||||
1,0 | ||||||||||
1,1 | ||||||||||
1,2 | ||||||||||
1,3 | ||||||||||
1,4 | ||||||||||
1,5 | ||||||||||
1,6 | ||||||||||
1,7 | ||||||||||
1,8 | ||||||||||
1,9 | ||||||||||
2,0 | ||||||||||
2,1 | ||||||||||
2,2 | ||||||||||
2,3 | ||||||||||
2,4 | ||||||||||
2,5 | ||||||||||
2,6 | ||||||||||
2,7 | ||||||||||
2,8 | ||||||||||
2,9 | ||||||||||
3,0 | ||||||||||
3,1 | ||||||||||
3,2 | ||||||||||
3,3 | ||||||||||
3,4 | ||||||||||
3,5 | ||||||||||
3,6 | ||||||||||
3,7 | ||||||||||
3,8 | ||||||||||
3,9 | ||||||||||
4,0 |
Примечание. Значения вероятности p даны числами после запятой.
Таблица 3
Критические значения критерия c2 для уровней статистической значимости р£0,05 и р£0,01 при разном числе степеней свободы V.
Различия между двумя распределениями могут считаться достоверными, если c2эмп достигает или превышает c20,05, и тем более достоверными, если c2эмп достигает или превышает c20,01 (по Большеву Л.Н., Смирнову Н.В., 1983).
р | p | р | ||||||
V | 0,05 | 0,01 | V | 0,05 | 0,01 | V | 0,05 | 0,01 |
3,841 | 6,635 | 49,802 | 57,342 | 89,391 | 99,227 | |||
5,991 | 9,210 | 50,998 | 58,619 | 90,631 | 100.425 | |||
7,815 | 11,345 | 52,192 | 59,892 | 91,670 | 101,621 | |||
9,488 | 13,277 | 53,384 | 61,162 | 92,808 | 102,816 | |||
11,070 | 15,086 | 54,572 | 62,428 | 93,945 | 104,010 | |||
12,592 | 16,812 | 55,758 | 63,691 | 95,081 | 105,202 | |||
14.067 | 18.475 | 56.942 | 64,950 | 96,217 | 106,393 | |||
15,507 | 20,090 | 58,124 | 66,206 | 97,351 | 107,582 | |||
16,919 | 21,666 | 59,304 | 67,459 | 98.484 | 108,771 | |||
18,307 | 23,209 | 60,481 | 68.709 | 99.617 | 109,958 | |||
19,675 | 24,725 | 61,656 | 69,957 | 100,749 | 111,144 | |||
21,026 | 26,217 | 62,830 | 71,201 | 101.879 | 112,329 | |||
22,362 | 27,688 | 64,001 | 72,443 | 103,010 | 113,512 | |||
23.685 | 29,141 | 65,171 | 73,683 | 104,139 | 114,695 | |||
24,996 | 30,578 | 66,339 | 74,919 | 105,267 | 115.876 | |||
26,296 | 32,000 | 67,505 | 76,154 | 106,395 | 117,057 | |||
27,587 | 33,409 | 68,669 | 77,386 | 107,522 | 118,236 | |||
28,869 | 34,805 | 69,832 | 78,616 | 108,648 | 119,414 | |||
30,144 | 36,191 | 70,993 | 79.84'3 | 109,773 | 120,591 | |||
31,410 | 37,566 | 72.153 | 81,069 | 110,898 | 121,767 | |||
32,671 | 38,932 | 73,311 | 82,292 | 112,022 | 122,942 | |||
33,924 | 40,289 | 74,468 | 83,513 | 113,145 | 124,116 | |||
35,172 | 41,638 | 75,624 | 84,733 | 114,268 | 125,289 | |||
36,415 | 42,980 | 76,778 | 85.950 | 115,390 | 126,462 | |||
37,652 | 44,314 | 77,931 | 87,166 | 116,511 | 127,633 | |||
38,885 | 45,642 | 79,082 | 88.379 | 117,632 | 128.803 | |||
40.113 | 46,963 | 80,232 | 89,591 | 118,752 | 129,973 | |||
41,337 | 48,278 | 81,381 | 90,802 | 119,871 | 131,141 | |||
42,557 | 49.588 | 82,529 | 92.010 | 120,990 | 132,309 | |||
43,773 | 50,892 | 83,675 | 93,217 | 122,108 | 133,476 | |||
44,985 | 52,191 | 84,821 | 94,422 | 123,225 | 134,642 | |||
46,194 | 53,486 | 85,965 | 95,626 | 124,342 | 135,807 | |||
47.400 | 54,776 | 87,108 | 96,828 | |||||
48.602 | 56,061 | 88,250 | 98,028 |
Таблица 4
Значения критерия t Стьюдента при различных уровнях значимости (р)
Число степеней свободы d | Уровень значимости | ||
0,05 | 0,01 | 0,001 | |
12,71 | 63,66 | - | |
4,30 | 9,93 | 31,60 | |
3,18 | 5,84 | 12,94 | |
2,78 | 4,60 | 8,61 | |
2,57 | 4,03 | 6,86 | |
2,45 | 3,71 | 5,96 | |
2,37 | 3,50 | 5,41 | |
2,31 | 3,36 | 5,04 | |
2,26 | 3,25 | 4,78 | |
2,23 | 3,17 | 4,59 | |
2,20 | 3,11 | 4,44 | |
2,18 | 3,06 | 4,32 | |
2,16 | 3,01 | 4,22 | |
2,15 | 2,98 | 4,14 | |
2,13 | 2,95 | 4,07 | |
2,12 | 2,92 | 4,02 | |
2,11 | 2,90 | 3,97 | |
2,10 | 2,88 | 3,92 | |
2,09 | 2,86 | 3,88 | |
2,09 | 2,85 | 3,85 | |
2,08 | 2,83 | 3,82 | |
2,07 | 2,82 | 3,79 | |
2,07 | 2,81 | 3,77 | |
2,06 | 2,80 | 3,75 | |
2,06 | 2,79 | 3,73 | |
2,06 | 2,78 | 3,71 | |
2,05 | 2,77 | 3,69 | |
2,05 | 2,76 | 3,67 | |
2,05 | 2,76 | 3,66 | |
2,04 | 2,75 | 3,65 | |
1,96 | 2,58 | 3,29 |
Приложение 2
Таблица 1
Критические значения выборочного коэффициента корреляции рангов Rs Спирмена
z | р | z | р | z | р | |||||
0,05 | 0,01 | 0,05 | 0,01 | 0,05 | 0,01 | |||||
0,94 | 0,48 | 0,62 | 0,37 | 0,48 | ||||||
0,85 | 0,47 | 0,60 | 0,36 | 0,47 | ||||||
0,78 | 0,94 | 0,46 | 0,58 | 0,36 | 0,46 | |||||
0,72 | 0,88 | 0,45 | 0,57 | 0,36 | 0,45 | |||||
0,68 | 0,83 | 0,44 | 0,56 | 0,34 | 0,45 | |||||
0,62 | 0,79 | 0,43 | 0,54 | 0,34 | 0,44 | |||||
0,61 | 0,76 | 0,42 | 0,53 | 0,33 | 0,43 | |||||
0,58 | 0,73 | 0,41 | 0,52 | 0,33 | 0,43 | |||||
0,56 | 0,70 | 0,40 | 0,51 | 0,33 | 0,42 | |||||
0,54 | 0,68 | 0,39 | 0,50 | 0,32 | 0,41 | |||||
0,52 | 0,66 | 0,38 | 0,49 | 0,32 | 0,41 | |||||
0,50 | 0,64 | 0,38 | 0,48 | 0,31 | 0,40 | |||||
П р и м е ч а н и е – Здесь p – уровень значимости, z – объем выборки. Если вычисленное значение Rs<Rs0,05, то корреляция не является статистически значимой. Если эмпирическое значение Rs≥Rs0,01, то корреляция является достоверной. | ||||||||||
Таблица 2
Критические значения коэффициента корреляции rxy Пирсона
n\P | 0,05 | 0,01 | n\P | 0,05 | 0,01 |
0,950 | 0,990 | 0,388 | 0,496 | ||
0,878 | 0,959 | 0,381 | 0,487 | ||
0,811 | 0,917 | 0,371 | 0,478 | ||
0,754 | 0,874 | 0,367 | 0,470 | ||
0,707 | 0,834 | 0,361 | 0,463 | ||
0,666 | 0,798 | 0,332 | 0,435 | ||
0,632 | 0,765 | 0,310 | 0,407 | ||
0,602 | 0,735 | 0,292 | 0,384 | ||
0,576 | 0,708 | 0,277 | 0,364 | ||
0,553 | 0,684 | 0,253 | 0,333 | ||
0,532 | 0,661 | 0,234 | 0,308 | ||
0,514 | 0,641 | 0,219 | 0,288 | ||
0,497 | 0,623 | 0,206 | 0,272 | ||
0,482 | 0,606 | 0,196 | 0,258 | ||
0,468 | 0,590 | 0,175 | 0,230 | ||
0,456 | 0,575 | 0,160 | 0,210 | ||
0,444 | 0,561 | 0,138 | 0,182 | ||
0,433 | 0,549 | 0,142 | 0,163 | ||
0,423 | 0,537 | 0,113 | 0,148 | ||
0,413 | 0,526 | 0,098 | 0,128 | ||
0,404 | 0,515 | 0,088 | 0,115 | ||
0,396 | 0,505 | 0,062 | 0,081 |
Примечания: корреляция статистически значима, если rxy≥ rxy0,01. Если
rxy<rxy0,05, то корреляция не является значимой.
Приложение 3
Дата добавления: 2016-03-10; просмотров: 1670;