Примеры применения математико-статистических методов обработки данных в психологических исследованиях

Пример 1.Определим, связаны ли между собой индивидуальные показатели готовности к обучению в центре подготовки операторов, полученные до начала обучения у кандидатов на учебу, и их средняя успеваемость в конце периода обучения с помощью коэффициента ранговой корреляции Спирмена.

Коэффициент корреляции R_s Спирмена вичисляется по формуле:

(1)

где N – количество ранжируемых признаков (показателей, испытуемых);

d_i – разность между рангами по двум переменным (например, по качеству деятельности и результатам выполнения теста) для каждого испытуемого;

Для решения этой задачи необходимо проранжировать, во-первых, значения показателей готовности к обучению и, во-вторых, итоговые показатели успевае­мости в конце периода обучения. Результаты представлены в таблице 1:

Таблица 1

Ранги показателей готовности к обучению и успеваемости операторов

Полученные данные подставляем в формулу (1) и произ­водим расчет:

R_s = 1 – 6*52/(11(11²-1)) = 0,76.

Для нахождения уровня значимости обращаемся к таблице 1 (приложения 3), в которой приведены критические значения для коэффициентов ранговой корреляции. Уровни значимости определяем по числу испытуемых n. В нашем случае n= 11. Тогда для уровня значимости p = 0,05 коэффициент корреляции R_кр1= 0,61 и для уровня значимости p = 0,01 - R_кр2= 0,76.

Полученный коэффициент корреляции совпал с критическим значением для уровня значимости, равного 0,01. Следовательно, можно утверждать, что показатели готовности и итоговые оценки успеваемости связаны положительной корреляцион­ной зависимостью. Иначе говоря, чем выше показатель готовности, тем успешнее будет учиться кандидат. В терминах ста­тистических гипотез необходимо принять гипотезу о наличии взаимосвязи, т.е. связь между показателями готовности и средней успеваемостью отлична от нуля.

Пример 2

Определим, влияет ли уровень интеллекта операторов на их профессиональ­ные достижения с помощью критерия «хи-квадрат».

с помощью критерия «хи-квадрат» Пирсона χ²_эмп, устанавливающего степень значимости различия распределений признака, полученных при обследовании двух групп лиц, разделенных по частным или обобщенным показателям профессиональной эффективности или другим прогнозируемым показателям, по формуле:

_k

χ²_эмп=Σх_i²/f_mi , (2)

ⁱ⁼¹

где х_i - разность между эмпирическими и «теоретическими» ча­стотами;

k – количество разрядов признака;

f_mi - вычисленная или «теоретическая» частота;

или

_{n m}

χ ²_эмп= M{Σ ΣС_ij²/(C_iC_j)-1}, (3)

^{i=1 j=1}

где n - число строк многопольной таблицы;

т — число столбцов многопольной таблицы;

M — общее число значений (элементов) в многопольной таблице, вычисляемое по формуле:

M= n∙m; (4)

C_ij — элементы многопольной таблицы;

C_i — суммарные значения по строкам многопольной таблицы;

С_j — суммарные значения по столбцам многопольной таблицы

При этом статистическая значимость рассчитываемых показателей должна быть не менее 0,05.

Для применения критерия χ²_эмп необходимо соблюдать следующие условия:

- измерение может быть проведено в любой шкале;

- выборки должны быть случайными и независимыми;

- желательно, чтобы объем выборки был > 20. С увеличением объема выборки точность критерия повышается;

- теоретическая частота для каждого выборочного интервала не должна быть меньше 5;

- сумма наблюдений по всем интервалам должна быть равна общему количеству наблюдений;

- таблица критических значений критерия χ²_эмп рассчитана для числа степеней свободы v, которое каждый раз рассчитывают по определенным правилам.

В общем случае число степеней свободы вычисляется по формуле:

v = с - 1, (5)

где с — число альтернатив (признаков, зна­чений, элементов) в сравниваемых переменных.

Для таблиц число степеней свободы вычисляют по фор­муле:

v = (n - 1)(m - 1), (6)

где n— число строк, m — число столбцов.

Первый способ решения - по формуле (2).

Например, 90 человек оценили по сте­пени их профессиональных достижений и по уровню интеллекта. При разбиении на уровни (градации признака) по обоим признакам было взято три уровня. Для показателя профессиональ­ных достижений были получены следующие час­тоты признака: 20 человек с высоким уровнем профессиональных достижений, 40 - со средним и 30 - с низким. Первая группа составляет 22,2%, вторая — 44,4% и третья — 33,3% от всей выборки. При разбиении по уровню интеллекта было взято три равных по численности группы - по 30 человек: с уровнями интеллекта ниже среднего, средним и выше среднего. Каждая группа составляет 33,3% от всей выборки. Все эмпирические данные (частоты) представле­ны в таблице 2:

Таблица 2

Частота распределения испытуемых по уровням оцениваемых признаков

Для удобства каждая ячейка таблицы обозначена соответству­ющей латинской буквой: А, S, С и т.д. Таблица 2 устроена сле­дующим образом: в ячейку, обозначенную символом А, заносят эмпирические частоты (или число) тех испытуемых, которые одновременно обладают характеристикой: ниже среднего по уровню профессиональных достижений и ниже среднего по интеллекту. Таких испытуемых (эмпирических час­тот) оказалось 20. В ячейку, обозначаемую символом S, заносят эмпирические частоты (или число) тех испытуемых, которые одновременно обладают характеристикой: средние по уровню профессиональных достижений и ниже среднего по интеллекту. Таких испытуемых (эмпирических частот) оказалось 5. В ячейку, обозначенную символом С, заносят эмпирические частоты (или число) тех испытуемых, которые одновременно обладают характеристикой: выше среднего по уровню профессиональных достижений и ниже среднего по интеллекту. Таких испытуемых (эмпирических частот) оказалось также 5. Заметим, что 20 + 5 + 5 = 30, т.е. числу испытуемых, имеющих уровень интеллекта ниже среднего. Подобные «разбиения» были проделаны для каж­дой ячейки таблицы 2. В круглых скобках в каждой ячейке таблицы представлены вычисленные для этой ячейки «теоретические» частоты.

Покажем, как для каждой ячейки таблицы 2 найти соот­ветствующую «теоретическую» частоту. Для этого для каждого столбца таблицы подсчитывают так на­зываемые «частости» в процентах:

30/90∙100 % = 33,3%;

40/90∙100 % = 44,4%;

20/90∙100 % = 22,2%.

Полученные величины «частостей» дают возможность под­считать «теоретические» частоты для каждой ячейки. Они служат основой для подсчета «гипотетических» (а по сути теоретических) частот, т.е. таких, которые при за­данном соотношении экспериментальных данных должны были бы быть расположены в соответствующих ячейках таблицы 2.

Согласно этому положению «теоретическую» частоту для ячейки А подсчитывают следующим образом. 30 человек имеют уровень интеллекта ниже среднего, поэтому 33,3 % от этого чис­ла должны были бы попасть в группу с профессиональными до­стижениями ниже среднего уровня. Находим эту «гипотетичес­кую» величину: 30*33,3%/100%∙= 9,99 ≈ 10.

Аналогично подсчитывают «теоретические» частоты для ячеек D,G,S,E,H,C,F и J.

Проверка правильности расчета «теоретических» частот для всех столбцов таблицы А.2 проводят следующим образом: 10 + 10 + 10 = 30; 13,3 + 13,3 + 13,3 = 39,9 ≈ 40; 6,7 + 6,7 + 6,7 = 20,1 ≈ 20.

Для проверки правильности расчета «теоретических» частот в случае сравнения двух эмпирических наблюдений или для сравнения показателей внутри одной выборки мо­жет использоваться следующая формула:

f_Cij = Σf_i*Σf_j/K, (7)

где f_Cij – теоретическая частота в соответствующей ячейке многопольной таблицы;

Σf_i – сумма эмпирических частот по строке;

Σf_j – сумма эмпирических частот по столбцу;

K – общее количество наблюдений.

Теперь используем формулу (2):

χ ²_эмп = (20-10)²/10+(5-13,3)²/13,3+(5-6,7)²/6,7+(5-10)²/10+(15-13,3)²/13,3+(10-6,7)²/6,7+(5-10)²/10+(20-13,3)²/13,3+(5-6,7)²/6,7=26,5

Число степеней свободы подсчитаем по формуле (6):

v = (n - 1)(m - 1) = (3 - 1)(3 - 1) = 4.

В соответствии с таблицей 3 (приложение 1):

χ ²_кр1 = 9,49 для p≤0,05 и χ ²_кр2 = 13,28 для p≤0,01

Полученная эмпирическая величина критерия «хи-квадрат» χ ²_эмп = 26,5 попадает в зону значимости, т.е. χ ²_эмп> χ ²_кр2(p≤0,01). Иными словами, следует принять гипотезу о том, что уровень интеллекта влияет на успешность профессиональной деятельности.

Второй способ решения - по формуле (3).

Подставив данные таблицы 2 в формулу (3), получим:

χ ²_эмп = 90(1/30(20²/30+5²/40+5²/20)+1/30(5²/30+15²/40+10²/20)+ 1/30(5²/30+20²/40+5²/20)-1) = 90(1/2+13/24+1/4-1) = 26,5

Как и следовало ожидать, эмпирическое значение «хи-квадрат» получено то же самое, что и при первом способе решения. Все дальнейшие операции уже проделаны выше при первом спосо­бе решения данной задачи. Второй способ существенно проще первого, од­нако при расчетах по формуле (3) можно легко допустить ошибки. Как первый, так и второй способы расчета эмпирического значения «хи-квадрат» позволяют работать с таблицами практически любой размерности: 3x4, 4x4, 5x3, 5х6 и т.п.

Приложение 4