Числовые характеристики ДСВ и их свойства.

Очень часто вместо закона распределения ДСВ приходиться использовать для описания случайной величины ее числовые характеристики, к которым относятся математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание ДСВ называют сумму произведений ее возможных значений на их вероятности:

М(x)= + =

Вероятностный смысл математического ожидания заключается в том, что оно приближенно равно наиболее ожидаемому в результате испытания значению случайной величины.

Свойства математического ожидания

1.М (С)=С

2.М (СХ)=СМ (Х)

3.М ( =М ( … М(

4. М ( =М ( … М(

5. М ( )=М ( )

Математическое ожиданиебиномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:

М (Х)=np.

Рассеяние случайной величины около среднего значения характеризуют дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Дисперсией ДСВ называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X ) =

Для практических вычислений пользуются следующей формулой:

D(X) = ,где М(x)=

Свойства дисперсии.

1. D(C)=C

2. D(CX)= D(X)

3. D(X+Y+Z)=D(X)+D(Y)+D(Z)

4. D(X-Y)=D(X)+D(Y)

Пример 2. Случайные величины X и Y независимы. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=3X-2Y,если известно, что М(Х)=0,3, М(Y)=-1,5 D(X)=5, D(Y)=6.

Решение.

М(Z)=M(3X-2Y)=M(3X)-M(2Y)=3M(X)-2M(Y)=3 ,3+2 (-1,5)=-2,1

D(Z)=D(3X-2Y)=D(3X)+D(2Y)=9D(X)+4D(Y)=9 5+4 6=69

Дисперсия биномиального закона распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления события в одном испытании:

D(X)=npq

Пример 3 .Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х-числа появления события А в 20 независимых испытаниях, если вероятность появления события А в каждом испытании равна 0,78.

Решение. Случайная величина Х распределена биномиально.

n=20; p=0,78; q=1-p=1-0,78=0,22

М (Х)=np=20 0,78=15,6;

D(X)=npq=20 0,78 0,22=3,432

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения помимо дисперсии служит среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением величины Х называют квадратный корень из дисперсии: