Нулевая гипотеза и альтернатива.

Статистической гипотезой (или просто гипотезой) называется проверяемое математическими методами предположение о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.

Гипотезы предстоит проверить с помощью какого-то метода- критерия.

Для оценки величины генеральных параметров по выборочным показателям используется нулевая (основная) гипотеза, или нуль-гипотеза, т.е. предположение о том, что генеральные параметры, о которых судят по выборочным данным, не отличаются друг от друга, и что разница, наблюдаемая между выборочными показателями, носит не систематический, а исключительно случайный характер. Обратное нуль- гипотезе утверждение о том, что в действительности между генеральными совокупностями есть различия, называется альтернативной (противоположной) гипотезой или альтернативой.

Вначале выдвигают нулевую гипотезу о том, что различия между генеральными совокупностями равно нулю. Затем получают выборку или несколько выборок, и если выборочные данные не противоречат нулевой гипотезе, т. е. различия можно объяснить только случайностью выборки, то нулевая гипотеза принимается. Если же полученные результаты не удается объяснить только воздействием случайных факторов, то нулевая гипотеза отвергается, а принимается альтернативная гипотеза. Нулевую гипотезу принято обозначать, как Н₀ ,а альтернативную-Н₁.

Например, при оценки эффективности применения нового метода тренировки юных спортсменов-спринтеров по среднему значению спортивного результата в контрольной и экспериментальной группах, нулевую гипотеза можно сформулировать следующим образом: средние значение результатов в группах не изменилось, т. е. х₁ = х₂. Для краткости это записывается так: Н: х₁ = х_2.

Если же заранее нельзя сказать, к чему приведет применение новой методики тренировки – к увеличению или снижению результатов, то гипотеза Н₁ будет состоять в том, что средние значения генеральных совокупностей неодинаковы: Н₁: х₁≠ х₂.

1.2 Ошибки при проверке гипотез.

При сравнении статистических характеристик почти никогда не встречается случая их абсолютного равенства. В силу каких-то случайных или закономерных причин значения их отличаются друг от друга. Задача при проверке гипотез состоит в том, чтобы отличить случайные влияния от закономерных.

При проверке статистической гипотезы решение экспериментатора никогда не принимается с уверенностью, т. е. всегда существует некоторый риск принять неправильное решение. Экспериментатор может выбрать вероятность, или уровень значимости, который характеризует вероятность отклонения, признаваемого невозможным в силу лишь случайных причин. Самым распространенными уровнями являются: 0,001; 0,01; 0,05. Уровень 0,05 означает, что выборочное значение может встретиться не чаще чем 5 раз в 100 наблюдениях.

Ошибки, допускаемые при проверке делятся на два вида: 1) отклонение гипотезы Н₀ , когда она верна,- ошибка первого рода; 2) принятие гипотезы Н₀ , когда в действительности верна какая-то другая гипотеза,- ошибка второго рода.

Вероятность ошибки первого рода обозначатся α и называется уровнем значимости критерия, по которому проверяется справедливость гипотезы Н₀.

Вероятность ошибки второго рода обозначается β и называется доверительной вероятностью. Ее величина зависит от альтернативной гипотезы Н₁ (при уровне значимости 0,05 доверительная вероятность равна 0,95 и т. п.). Отсюда, опираясь на теорему суммы вероятностей противоположных событий, вытекает, что α+β=1

Область непринятия гипотезы Н₀ называется критической областью критерия. Величина 1-β называется мощностью критерия, т. е. вероятность того, что не будет допущена ошибка второго рода.

Статистическим критерием называют правило, обеспечивающее принятие истинной или отклонение ложной гипотезы с заранее заданной вероятностью.

1.3 Критерии значимости.

Методы, с помощью которых для каждой выборки формально точно определяются, удовлетворяются ли выборочные данные нулевой гипотезе или нет, называются критериями значимости.

Процедура проверки гипотез сводится к тому, что по выборочным данным вычисляется значение некоторой величины, называемой статистической критерия, или просто критерием, который имеет известное стандартное распределение. Найденное значение критерия сравнивается с критическим (граничным) значением критерия, взятым из соответствующих таблиц, и по результатам сравнения делается вывод: принимать гипотезу или отвергнуть.

Если вычисленное по выборке значение критерия не превосходит граничного значения, то гипотеза Н₀ принимается на заданном уровне значимости α. В этом случае наблюдаемое по экспериментальным данным различие генеральных совокупностей можно объяснить только случайностью выборки.

Когда вычисленное значение окажется больше граничного (критического) значения при заданном уровне значимости α, то наблюдаемое различие генеральных совокупностей уже нельзя объяснить только случайностями. В этом случае гипотеза Н₀ отклоняется в пользу гипотезы Н₁ при данном уровне значимости α, и говорят, что наблюдается различимо (статистически значимо) на уровне значимости α.

Критерии значимости подразделяются на три типа:

1. Критерии значимости, которые служат для проверки гипотез о параметрах распределений генеральной совокупности (чаще всего нормального распределения) называются параметрическими.

2. Критерии, которые для проверки гипотез не используют предположений о распределении генеральной совокупности и не требуют знания параметров распределений, называются непараметрическими.

3. Критерии, которые служат для проверки гипотез о согласии распределения генеральной совокупности, из которой получена выборка, с ранее принятой теоретической моделью, называются критериями согласий.