Принцип максимума Понтрягина

Этот метод, разработанный академиком Л.С.Понтрягиным [ 1 ], при снятии ограничений 2-го и 3-го типа (по скорости и ускорению) и с учетом того, что i(s) = 0, позволяет получить аналитическое решение задачи. Рассмотрим эту задачу на примере тепловозной тяги [ 2 ].

Основное сопротивление движению поезда для заданного подвижного состава зависит только от скорости и определяется выражением

. (1.5)

С достаточной степенью точности можно считать, что интенсивность расхода топлива линейно зависит от используемой мощности локомотива

Е = 1Р = 2u, (1.6)

где 1, 2 – коэффициенты пропорциональности.

Обозначив s = x, v = , = , с учетом формул (1.1) - (1.6) и рационального выбора единиц измерения, запишем уравнение движения поезда в безразмерном виде

= - к0 - к1 - к2 2. (1.7.)

Для удобства записи производные обозначены здесь точками.

Для применения принципа максимума Понтрягина, приняв x = x1 и 1 = x2 , приведем уравнение (1.7) к виду

1 = x2;

2 = u / x2 - к0 - к1 х2 - к2 х2/2. (1.8)

Необходимо найти такое управление u(t), которое перевело бы систему (1.8) из начального состояния x1(0) = x10 и х2(0) = x20 в конечное x1(Т) = 0 и x2(Т) = 0, обеспечивая при этом минимум функционала (1.3).

Функция Гамильтона [ 1 ] для системы (1.8) запишется в виде

Н( , x, u) = 1 1 + 2 2 , (1.9)

где 1, 2 – вспомогательные переменные, которые определяются выражением

i = . (1.10)

Подставляя значения 1 и 2 из системы (1.8), получим

Н( , x, u) = 1 x1 + 2 (к0 + к1 x2 + к2 x2/2 - ). (1.11)

Для оптимальности процесса необходимо, чтобы выполнялось условие максимума:

Н( , x, u) = max Н( , x, u). (1.12)

Как следует из уравнения (1.11) функция Н достигает максимума при u(t) равной 2 / x2 = max. Так как x2 > 0, то, очевидно, что (1.12) достигает максимума при

umax, если 2 / x2 > 0 ;

u = (1.13)

0, если 2 / x2 < 0.

Отсюда следует, что оптимальное по расходу топлива управление является кусочно-постоянной функцией, принимающей значения umax или 0 (рис.1.1).

Рис. 1.1 График оптимального по расходу топлива управления тепловозом при отсутствии уклонов

Для определения скорости и момента отключения тяговых двигателей произведем следующие действия. Запишем уравнения для функции yi, используя уравнение (1.10):

= = 0;

2 = = (к1 + 2 к2 х2. + ) 2 - 1 (1.14)

Из выражения (1.14) 1 = С1. Используя выражения (1.8) и (1.14) составим систему

= - к0 - к1 х2- к2 ;

2 =(к1+ 2 к2 x2.+ ) 2 - С1. (1.15)

Функция 2(t) меняется во времени. В начальный момент u = umax. Переключение с umax на u = 0 происходит в момент, когда 2 = 0, значит, после переключения 2 < 0, С1 < 0, и поэтому 2 (t) убывает. Следовательно, функция 2 (t) имеет одно переключение. Исходя из этого, весь фиксированный отрезок времени Т можно разбить на два отрезка [ 0, ] и [ , T ], где – момент переключения.

При u = 0; [ , T ]; t [ ,T ] получаем

= - к0 - к1х2 - к2 ; - = dt ;

t = 1(x2) + С2;x2(T) = 0; С2 = T - 1(0); t = 1(x2) + T - 1(0). (1.16)

При u = umax; [0, ]; t [0, ] получаем

= - к0 - к1х2 - к2 + ;

dt = o ;

t = 2(x2) + С3; x(0) = 0; С3 =T - 2(0);

t = 2(x2) - 2(0). (1.17)

В момент траектория непрерывна, значит

(1.18)

Из выражения (1.18) находится скорость переключения в момент . Подставляя в выражение (1.17), найдем момент переключения .

Процесс, оптимальный по расходу топлива при фиксированном времени хода Т, приведен на рис.1.2. В момент t = 0 включается тяга u = umax для осуществления разгона. При достижении времени тяга выключается и поезд, двигаясь по инерции, достигает конечную координату за время Т.