Метод минимальных остатков

6.16 Одним из весьма желательных свойств факторного отображения является наиболее полное описание корреляций рассматриваемых признаков. Представление о такой полноте дает, находимая по формуле (6.40) остаточная матрица

R_o = R_* - R_^ ,

являющаяся разностью редуцированной корреляционной матрицы R_*, подвергающейся анализу, и воспроизведенной по результатам факторного анализа матрицей

R_^ = AA' .

Качество факторного отображения будет тем выше, чем меньшими будут внедиагональные элементы матрицы R_o. Метод минимальных остатков, разработанный Г.Харманом, как раз предназначен для получения такого факторного отображения A, которое позволяет получить минимально возможные для данного числа факторов значения внедиагональных элементов матрицы

R_o = R_* - AA'.

Метод минимальных остатков предполагает, что количество факторов известно. Получаемые общие факторы - ортогональны. Для достижения желательных оптимальных свойств факторного отображения вычисления организуются таким образом, чтобы

y = S (r_ik - a_1ia_1j - a_2ia_2j - ... - a_nia_nj)² = min (6.44)

^{i, j}

- 123 -

Таблица 6.2. Результаты выделения факторов по методу минимальных остатков для 22 размеров тела по выборке 242 женщин.

достигла бы своего минимального значения. Здесь суммируются квадраты разностей между реальными коэффициентами корреляции r_ik и их воспроизведенными по результатам факторного анализа значениями a_1ia_1j + a_2ia_2j + ... + a_nia_nj, найденными из формулы (6.25). Поиск матрицы факторного отображения, обеспечивающей достижение минимального значения функции y, производится в ходе специальной итерационной вычислительной процедуры, описанной в книге Г.Хармана (1972). В связи с тем, что в некоторых ситуациях поиски минимума функции y могут приводить к получению у некоторых признаков значений общностей больших единицы, что - недопустимо, в ходе итерационных вычислений нагрузок одновременно соблюдается выполнение неравенства

h_j² = a_1j² + a_2j² + a_3j² + ... + a_nj² < 1 . (6.45)

Одновременно с вычислением нагрузок, обеспечивающих выполнение условий (6.42)-(6.43), находятся и значения общностей.

- 124 -

В связи с тем, что до начала вычислений факторного отображения необходимо задать число общих факторов, которое неизвестно, можно поступить двумя способами. Во-первых, можно провести предварительный анализ по методу главных факторов и при помощи критерия отсеивания Кеттела определить число этих факторов. Затем, имея необходимое количество факторов, можно перейти к вычислениям по методу минимальных остатков. Во-вторых, можно несколько раз провести вычисления, задавая 2, 3, и т.д. общих факторов, проводя каждый раз исследование остаточных корреляций с проверкой выполнения условий (6.42). Как только эти условия впервые выполнятся, число факторов можно считать найденным. Применение современной компьютерной техники и соответствующих пакетов программ делает этот путь вполне реальным.

Метод главных факторов обладает свойством, в соответствии с которым каждый из этих факторов наилучшим образом описывает общности признаков. Метод минимальных остатков ориентирован на иной результат - достижение наилучшего (т.е. наиболее исчерпывающего) описания изучаемых коэффициентов корреляции. Следует заметить, что между получающимися результатами, удовлетворяющими этим целям, обычно не бывает больших различий. Так, если на главную диагональ редуцированной корреляционной матрицы R_* подставить значения общностей признаков, соответствующие факторному отображению, найденному по методу минимальных остатков, и одновременно обработать эту матрицу R_* по методам главных факторов, и минимальных остатков, то получившиеся факторные отображения точно совпадут.

Пример 6.3 Найдем факторное отображение по методу минимальных остатков для 22 размеров тела по выборке 242 женщин. Результаты приведены в таблице 6.2. Нетрудно видеть, что полученные нагрузки весьма близки к тем, которые были найдены по методу главных факторов и приведены в таблице 6.1. Понятно, что интерпретация этих результатов оказывается также весьма сходной. Анализ матрицы остаточных корреляций, не приведенной здесь из-за своей громоздкости, дал следующие результаты. Значения средней величины и дисперсии остаточных корреляций равны M_ro = 0.000 и s_ro² =

= 0.00091. Теоретическое значение дисперсии, определяемое через объем выборки по формуле (6.41), равно s_o² = 0.00417. Нетрудно видеть, что реальная величина s_ro² оказывается значительно меньше теоретического значения s_o², полученного в предположении, что остаточные связи варьируют случайно около нулевого значения. Можно также заметить, что остаточные корреляции, найденные по методу минимальных остатков, имеют несколько меньшую дисперсию по сравнению с тем уровнем, который был найден для главных факторов s_o² = 0.00102, что говорит о более тесной вариации остаточных связей около нулевого уровня в первом случае и, следовательно - об их меньших абсолютных значениях.