Понятие о дисконтировании.

Рыночная экономика предполагает плату за ресурсы производства, продающиеся или обменивающиеся на свободных рынках. На одном из таких рынков - рынке капитала - можно за определенную плату взять деньги в пользование на определенный срок, либо дать их в пользование, рассчитывая получить за это вознаграждение.

FV=PV+DPV, (6.1)

где FV - сумма, которую мы получим завтра, и которую называют будущей стоимостью или наращенной стоимостью;

PV- сумма, которая имеется сегодня, и которая называется настоящей стоимостью;

DPV - плата за использование капитала - проценты.

DPV= PV×k (6.2)

где k - норма оплаты за пользование капиталом или норма процента, ставка процента, ссудный процент и т.д., тогда:

FV=PV×(1 + k) (6.3)

Проценты различаются по базе для их начисления. При постоянной базе используютпростые проценты. При переменной базе используют понятиесложных процентов, т.к. они присоединяются к основной сумме долга(капитализируются или реинвестируются). Причиной дисконтирования является неодинаковая ценность денежных средств во времени.

Для простых процентов и периоде начисления n лет с интервалом в один год по ставке k величина наращенной суммы определяется как:

FV=PV×(1 + nk) (6.4)

Для случая сложных процентов при тех же условиях:

FV=PV×(1 + k)ⁿ(6.5)

При решении финансовых задач принято всегда оперировать понятием сложного процента. Применение простого процента всегда особо оговаривается.

Формула наращения имеет вид:

, (6.6)

где: mn- период начисления

Рис. 6.1. Различия в последствиях применения простых и сложных процентов

Следствием принципа временной неравноценности денег является неправомерность суммирования денежных величин, относящихся к разным моментам времени, особенно при принятии решений финансового порядка.

Процесс перехода от настоящей стоимости к будущей называют компаундингом, а обратный процесс от будущей стоимости к настоящей - дисконтированием.

Дисконтирование обычно называется расчетом текущей (современной) стоимостиили, приведенной, дисконтированной стоимости.

Для осуществления такого расчета используется следующая формула:

(6.7),

где 1/(1+k) - коэффициент дисконта (уменьшения).

3. Будущая стоимость аннуитета.

Аннуитет -этоежегодный взнос денежных средств ради накопления определенной суммы в будущем.

Классическим примером такого рода операций, является накопление амортизационного фонда, т.е. денежного фонда, позволяющего приобрести новое оборудование взамен постепенно изнашивающегося старого.

Рис. 6.2. Схема нарастания будущей суммы при аннуитете

Если изобразить эту схему в виде универсальной модели, то получится следующее уравнение:

(6.8)

где FVA_n - будущая стоимость аннуитета;

PMT_t - платеж, осуществленный в конце периода t;

k - уровень дохода;

n - число периодов, в течение которых получается доход.

Если суммы платежей одинаковы в каждом из периодов, то это уравнение имеет вид:

(6.8а)

Поскольку все платежи одинаковы по величине, то это уравнение можно упростить и формула расчета аннуитета примет вид:

(6.9)

где FVA1_n,k - будущая стоимость аннуитета в 1 руб. в конце каждого периода получения доходов на протяжении n периодов и при ставке процентного дохода на уровне k, рассчитываемая по формуле:

FVA1_n,k = [(1+k)ⁿ - 1)] / k (6.10)

4. Текущая стоимость аннуитета.

В этом случае используется подход, предполагающий определение текущей (современной) стоимости аннуитета.

Графически этот же процесс можно изобразить следующим образом:

Рис. 6.2

Рис. 6.3. Схема формирования текущей стоимости аннуитета

Общее уравнение расчета приведенной стоимости аннуитета имеет вид:

, (6.11)

где РМТ_t - будущий платеж в конце периода t;

k - необходимая (конкурентная) норма доходности по инвестициям;

n - число периодов, на протяжении которых в будущем поступят доходы от современных инвестиций.

В случае, если платежи по аннуитету одинаковы в каждом периоде, формулу 6.11можно представить в следующем виде:

(6.12)

где PVAl_n,k = [1-1/(1+k)ⁿ ] / k, т.е. текущая (современная) стоимость аннуитета стоимостью в 1 руб. в конце каждого из n периодов при ставке доходности на уровне k.

Найти нужные значения с помощью формул (6.11) и (6.12) можно по справочным таблицам.

Ценность ренты

При оценке инвестиционных проектов, когда решается вопрос о предельно допустимой сумме вложений, полезно оценить возможность альтернативного дохода, обеспечиваемого вложениями рентного типа.

Классическим примером альтернативного вложения средств является банковский бессрочный текущий (сберегательный) счет, процентный доход по которому полностью изымается сразу после его начисления. Такой вид инвестиций для противопоставления аннуитету называется перпетуитетом (вечность). В данном случае реально возникает ситуация, когда основная сумма вклада как бы "зарабатывает" деньги на предстоящий год, а срок жизни инвестиции не ограничен. В этом случае годовой доход определяется по формуле:

PMT = PV × k, (6.13)

где PV - основная сумма сбережений на банковском счете;

k - процентная ставка дохода, выплачиваемая банком по счетам данного типа.

Отсюда можно прийти к пониманию ценности инвестиции, обеспечивающей аналогичный приток денежных средств. Для этого формула 6.13преобразуется и принимает вид:

(6.14)

Инвестиция с неограниченным сроком жизни, но с постоянно возрастающими величинами годового дохода называетсяперпетуитетом. Стоимость такой "вечной" инвестиции может быть определена с помощью модели Гордона:

(6.15),

где g– темп роста величины годового дохода;

PMT_{1 -} ожидаемая величина денежных поступлений в конце первого года.

1. Отправной точкой расчетов по этой формуле является платеж по инвестированным средствам на конец первого периода их использования. Если же платеж поступает инвестору незамедлительно, то его сумму следует прибавить к величине текущей стоимости,

2. Модель Гордона можно использовать только в том случае, если поток денежных поступлений возрастает постоянно и с одним и тем же темпом роста g.

3. Модель Гордона справедлива как правило тогда, когда темп роста g меньше, чем коэффициент дисконтирования k.