Формула Рэлея - Джинса

Расчет теоретического вида функции сыграл в истории физики чрезвычайно важную роль.

Рэлей и Джинс рассчитали равновесную плотность излучения исходя из предположения, что равновесное излучение в полости представляет собой систему стоячих волн. Согласно классической теореме о равном распределении энергии по степеням свободы, они предположили, что на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия

Можно доказать, что количество стоячих волн, с частотами в интервале от до , отнесенное к единице объема полости, равно:

. (31.20)

Поскольку электромагнитные волны поперечны, то вдоль заданного направления могут независимо распространяться две волны, поляризованные во взаимно- перпендикулярных направлениях. Поэтому в действительности

. (31.21)

Умножив на среднюю энергию колебания kT, получимплотность энергии приходящуюся на интервал частот от до

. (31.22)

. (31.23)

. (31.24)

Соответственно испускательная способность абсолютно-черного тела,

. (31.25)

Однако эта функция совпадает с экспериментальными данными только при больших длинах волн. Это видно на рисунке 31.7, где показан примерный вид экспериментальной и теоретической зависимостей (если в (31.25) перейти к зависимости от длины волны). Вполне очевидно, что при интегрировании во всем диапазоне частот, т.е. при вычислении , получим бесконечное значение. Это очевидное противоречие теоретического результата и эксперимента получило название ультрафиолетовой катастрофы. Это связано с тем, что рассуждения Рэлея и Джинса основывались на фундаментальных законах классической физики. Логически рассуждения, приводящие к формуле (31.25), абсолютно безупречны, что указывало необходимость внесения корректировок в фундаментальные представления, существование некоторых иных, неклассических закономерностей.

Формула Планка

Выход из состояния «ультрафиолетовой катастрофы» был найден М. Планком, который получил формулу, верно описывающую испускательную способность абсолютно черного тела, предположив, что электромагнитная энергия излучается квантами, т.е. отдельными дискретными порциями. Это приводит к тому, что средняя энергия колебания оказывается не равна .

Энергия каждого кванта определяется соотношением

. (31.26)

где , называется постоянной Планка и является фундаментальной физической константой.

Если излучение испускается квантами w, то его энергия должна быть кратна этой величине:

. (31.27)

В состоянии равновесия распределение колебаний по значениям энергии описывается распределением Больцмана, в соответствии с которым: если имеется объектов, энергия которых может принимать значения из ряда возможных , то количество объектов в состоянии с определяется выражением

. (29.28)

В нашем случае вероятность того, что энергия колебания частоты w равна ,определяется выражением:

. (31.29)

где: - количество колебаний с энергией

-общее количество колебаний.

Среднее значение энергии колебания

. (31.30)

. (31.31)

Обозначим . Тогда выражение для средней энергии колебания можно представить в виде:

. (31.32)

Действительно, по правилам дифференцирования:

,

то есть

Но сумма есть сумма членов геометрической прогрессии с первым членом b₁= 1 и знаменателем . Из элементарной математики известна формула для суммы членов геометрической прогрессии

. (31.33)

Подставив и b₁= 1, находим:

. (31.34)

Это значение для суммы подставим в (31.32) и выполним дифференцирование:

. (31.35)

Подставив , получим

. (31.36)

Итак, средняя энергия колебания оказывается равной

. (31.37)

Важно отметить, что если мысленно устремить постоянную Планка к нулю – – , то есть предположить что энергия излучения изменяется не дискретно, а непрерывно, то по формулам приближенных вычислений получаем:

и .

Таким образом, если бы энергия излучения могла бы принимать непрерывный ряд значений ее среднее значение было бы kT.

Умножив на количество колебаний в интервале от до , найдем энергию приходящуюся на интервал частот :

. (31.38)

Значит

. (31.39)

Воспользовавшись соотношением (31.19) найдем

. (31.40)

Эта формула точносогласуется с экспериментальными данными. Для энергетической светимости абсолютно черного тела получается в этом случае

Вычисления дают:

,

т.е. постоянная Стефана-Больцмана

что очень хорошо согласуется с экспериментом.

Формула (31.40) позволяет объяснить и закон смещения Вина. Таким образом (31.40) дает верное и исчерпывающееописание равновесного теплового излучения. Но, напомним, для ее получения пришлось предположить, что излучение испускается отдельными квантами с энергией

<2 3 456 7 8 >

Дата добавления: 2016-02-11; просмотров: 1649;