Эконометрика - лекции 4 страница

2) Составить уравнение регрессии в стандартизованном виде и в натуральном масштабе.

Найдём основные числовые характеристики, среднее квадратическое отклонение найдём как корень из дисперсии, которая находится через Excel используя функцию «Дисп»

Среднее значение	61,776	15,80467	9,5844	20,0672	26,15667
Среднее квадратическое oтклонение	17,60612	8,198498	11,31237	10,37851	13,86945

Составим матрицу парных коэффициентов корреляции используя Excel «анализ данных», «корреляции»

		0,742113	0,469343	-0,30962	0,782799
	0,742113		0,117338	-0,03446	0,643305
	0,469343	0,117338		0,176933	0,833674
	-0,30962	-0,03446	0,176933		0,113465
	0,782799	0,643305	0,833674	0,113465

1. Проверим факторы на мультиколлинеарность. Для вычислим расчётное значение по формуле , где: ; подставив значения, получим 46,86917. Используя Excel и функцию ХИ2ОБР(0,05;6) где 6 число степеней свободы находим критическое значение равное 12,59159 . Следовательно, в данном наборе факторов присутствует мультиколлинеарность. Определим фактор ответственный за мультиколлинеарность. Анализ матрицы парных коэффициентов позволяет предположить, что это , так он имеет большие коэффициенты корреляции с остальными факторами. Проверим, это используя значения определителя межфакторной корреляции при удалении одного фактора. Если удалить получим значение равное 0,294281, при удалении получим 0,567066, при удалении получим 0,003236, при удалении получим 0,952308. Следовательно, удаляя , мы получаем наибольшее значение определителя межфакторной корреляции. Проверим на мультиколлинеарность оставшиеся три фактора. Найдём расчётное значение критерия равное 2,371397, критическое значение критерия при степенях свободы равном 3 составляет 7,814728. Следовательно, при удалении четвертого фактора мы избавляемся от мультиколлинеарности. Этот же вывод можно сделать проанализировав матрицу парных коэффициентов корреляции. Очевидно, что факторы и находятся в линейной зависимости и поэтому нужно удалить один из них. Но как указано ранее имеет большие коэффициенты корреляции с остальными факторами. Поэтому удаляем а оставляем . Правда при этом может возникнуть ситуация когда один удаляемый фактор оказывает большее влияние на результативный признак чем три оставшихся. В этом случае оставляют самый значимый признак и к нему присоединяют по одному оставшиеся факторы, на каждом шаге проверяя наличие мультиколинеарности.

2. Составим уравнение регрессии в стандартизованном масштабе. Для этого составим систему уравнений тогда или

решаем полученную систему методом Крамера, используя Excel и функцию «МОПРЕД» вычисляем требуемые определители и найдём значения, коэффициенты , , , получаем уравнение в стандартизованном масштабе . Найдем уравнение в натуральном масштабе. Для этого найдём коэффициенты регрессии используя формулу и параметр регрессии по формуле получаем . Следовательно, уравнение регрессии в натуральном масштабе имеет вид: .

Множественная корреляция

Показатель множественной корреляции характеризует тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым признаком, или оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат. Независимо от формы связи показатель множественной корреляции может быть найден по формуле . Величина показателя множественной корреляции больше или равна максимальному парному индексу корреляции. При линейной зависимости признаков формула показателя корреляции равна , где: - стандартизованные коэффициенты регрессии; - парные коэффициенты корреляции результативного признака с каждым фактором. Также при линейной зависимости можно определить показателя корреляции по формуле , где: - определитель матрицы парных коэффициентов корреляции; - определитель матрицы межфакторной корреляции. Проверка значимости уравнения регрессии в целом проводится с использованием - критерия Фишера. Для этого находится расчетное значение критерия по формулам или которое затем сравнивается с критическим при уровне значимости и степенях свободы большей дисперсии и меньшей дисперсии . Если наблюдаемое значение меньше критического то нулевая гипотеза о не значимости уравнения регрессии принимается, в противном случае уравнение регрессии значимо. Расчетные значения показателя множественной корреляции, полученные по разным формулам должны совпадать. Так же как расчетные значения критерия Фишера. Средняя ошибка аппроксимации находится так же как и при парной регрессии.

Продолжение примера.

3) Найдите индекс множественной корреляции тремя способами и сравните полученные значения.

4) Оценить значимость уравнения регрессии по критерию значение критерия рассчитать двумя способами, оцените качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации.

Решение: Составим расчётную таблицу

24,00	5,30	24,56	59,69	67,84593	4,351396	36,84404	66,51918	0,136638
6,75	16,08	28,01	53,71	48,28624	65,06036	181,9736	29,41716	0,100982
19,32	17,06	22,46	81,44	70,67909	386,6729	79,26508	115,7971	0,132133
19,60	0,76	10,79	74,58	66,81161	163,9424	25,35735	60,3479	0,104162
2,47	-9,96	5,90	36,29	37,38872	649,5362	594,7392	1,207194	0,030276
24,67	17,96	13,40	95,185	84,72154	1116,161	526,4978	109,484	0,109928
28,13	4,80	-3,10	82,955	90,70454	448,55	836,8604	60,05535	0,093419
14,83	15,58	17,87	58,24	65,97803	12,5033	17,65704	59,87709	0,132865
27,57	37,52	25,70	82,735	95,12699	439,2797	1112,288	153,5613	0,149779
11,88	28,08	21,20	58,125	68,47292	13,3298	44,8488	107,0795	0,178029
20,48	30,56	35,09	62,21	74,07205	0,188356	151,1929	140,7083	0,190678
7,90	10,36	31,07	47,335	44,00204	208,5425	315,9137	11,10863	0,070412
18,15	14,26	8,87	89,795	75,45917	785,0644	187,2292	205,516	0,159651
29,40	29,08	21,08	85,29	94,68801	552,9082	1083,201	88,32268	0,110189
-6,85	2,06	31,61	14,775	16,37407	2209,094	2061,335	2,557027	0,108228
18,25	0,66	19,31	65,04	59,47918	10,6537	5,275402	30,92277	0,085499
11,40	2,16	18,62	45,04	51,02504	280,0937	115,5832	35,82067	0,132883
12,93	20,74	16,19	69,31	67,91812	56,76116	37,72562	1,937334	0,020082
9,62	10,14	13,28	58,71	57,40853	9,400356	19,07479	1,693824	0,022168
17,95	16,00	15,08	85,915	72,53655	582,6913	115,7895	178,9829	0,155717
17,88	8,30	33,26	60,605	55,6756	1,371241	37,21489	24,29899	0,081337
22,25	-0,28	30,41	60,605	57,71427	1,371241	16,49768	8,356343	0,047698
24,43	-0,22	31,43	57,795	60,29203	15,84836	2,202171	6,235153	0,043205
18,62	-0,92	18,71	64,325	59,26624	6,497401	6,29891	25,59108	0,078644
-4,52	5,22	31,37	22,895	22,14847	1511,732	1570,341	0,5573	0,032606
-2,32	12,54	2,39	50,805	48,55807	120,3628	174,7138	5,04871	0,044227
17,97	-0,56	17,93	59,155	59,06274	6,869641	7,361775	0,008512	0,00156
23,35	3,26	25,46	59,47	64,89784	5,317636	9,745861	29,4614	0,09127
10,50	8,10	20,33	56,215	52,85984	30,92472	79,49785	11,25708	0,059684
23,00	18,30	34,94	68,92	69,13917	51,03674	54,21623	0,048034	0,00318
12,93	7,62	23,99	49,62	53,77552	147,7683	64,00773	17,26832	0,083747
9,88	14,36	23,81	51,415	54,2312	107,3503	56,92401	7,930982	0,054774
8,02	5,10	-1,69	54,19	60,83222	57,5474	0,89072	44,11909	0,122573
16,97	9,40	11,99	55,395	68,35876	40,71716	43,3327	168,059	0,234024
17,03	-7,38	39,77	36,665	39,28909	630,5623	505,6612	6,88584	0,071569
21,43	13,82	11,00	80,605	78,58932	354,5312	282,6877	4,062964	0,025007
16,35	33,62	24,77	88,94	76,659	737,8829	221,5035	150,8231	0,138082
19,13	16,88	7,91	95,57	79,33921	1142,034	308,4663	263,4386	0,169831
24,15	16,46	26,84	84,285	74,54634	506,6551	163,0816	94,84146	0,115544
10,07	10,30	35,06	45,825	44,62256	254,4344	294,2405	1,445861	0,02624
9,70	19,14	29,12	52,8	54,04514	80,56858	59,76613	1,550385	0,023582
20,62	-3,12	-3,19	71,215	74,23969	89,09472	155,3436	9,148766	0,042473
15,37	-25,64	13,25	35,775	40,44312	676,052	455,0917	21,79135	0,130486
16,67	12,88	15,98	59,505	67,90428	5,157441	37,55576	70,54782	0,141152
2,92	15,70	22,34	43,82	45,97975	322,4179	249,5216	4,664509	0,049287
17,13	4,46	32,09	55,175	52,59596	43,5732	84,27311	6,651442	0,046743
11,20	4,90	19,58	51,43	52,07724	107,0397	94,06601	0,418916	0,012585
17,63	7,52	9,50	56,835	69,54504	24,41348	60,35797	161,5451	0,22363
25,65	-2,36	10,07	77,645	73,83463	251,8252	145,4105	14,51892	0,049074
27,77	2,62	27,95	74,93	69,30786	173,0277	56,72889	31,60847	0,075032
сумма	3088,8	3088,8	15498,77	12845,67	2653,10	4,542562

Проверим выполнение равенства сумм. Так как , оно выполнено. Следовательно, имеем . То есть общая дисперсия равна , факторная дисперсия равна и остаточная дисперсия равна .

Найдем коэффициент множественной детерминации по трем формулам ,

Все полученные коэффициенты детерминации равны, найдём коэффициент множественной корреляции

Проверим значимость уравнения регрессии через критерий , для этого вычислим его двумя способами и . Критическое значение критерия равно 2,806845 и, следовательно, уравнение регрессии в целом значимо. Найдём среднюю ошибку аппроксимации по формуле , она показывает неплохое качество описания реального изменения результативного признака уравнением регрессии. Формула скорректированного индекса множественного детерминации

. Чем больше величина , сильнее различия и . Для рассматриваемого примера равна .

Частные уравнения регрессии.

На основе линейного уравнения множественной регрессии

Можно найти частное уравнение регрессии по переменной путем подстановки в него средних значений . В отличии от парной регрессии частные уравнения регрессии характеризуют изолированное влияние фактора на результат, при условии, что остальные факторы закреплены на неизменном уровне. Эффекты влияния других факторов присоединены в них к свободному члену уравнения регрессии. Это позволяет определять частные коэффициенты эластичности: , где - функция определяющая уравнение множественной регрессии. Или средние по совокупности показатели эластичности .Для линейной регрессии можно так же использовать формулы .

Найдём средние коэффициенты эластичности для рассматриваемого примера:

.

Следовательно, наибольшее влияние на результат оказывает фактор наименьшее . Используя частные уравнения регрессии можно найти частные значения критерия . И оценивать значимость не только уравнения в целом, но и каждого фактора включённого в регрессионную модель. Частный F-критерий построен на сравнении прироста факторной дисперсии, обусловленного влиянием дополнительно включённого фактора, с остаточной дисперсией на одну степень свободы по регрессионной модели в целом. Предположим, что оцениваем значимость влияния как дополнительно включённого в модель фактора. Используем следующую формулу:

где: - коэффициент множественной корреляции для модели с полным набором факторов;

- тот же показатель, но без включения в модель фактора ;

- число наблюдений.

Продолжение примера.

5. Найти значения частных значений критерия и определить значимость каждого фактора в отдельности.

Найдем частные критерии , для этого вычислим

Тогда

Критическое значение критерия равно 4,042652 следовательно согласно критерию все факторы значимы, но наиболее значим первый фактор.

Частная корреляция.

Частные коэффициенты (индексы) корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов, включённых в уравнение регрессии. Показатели частной корреляции представляют собой отношение остаточной дисперсии за счёт включения в анализ нового фактора к остаточной дисперсии, имевшей место до введения его в модель.

Пусть в уравнение простой регрессии добавили ещё один фактор тогда чистое влияние этого фактора на результат можно определить как или , соответственно .если рассматривается регрессия с числом факторов , то возможны частные коэффициенты корреляции не только первого, но и второго, третьего,….., порядка, то есть влияние фактора можно оценить при разных условиях независимости действий других факторов:

- при постоянном действии фактора ;

- при постоянном действии факторов и ;

- при постоянном действии всех факторов включены[ в уравнение регрессии.

Порядок частного коэффициента корреляции определяется количеством факторов, влияние которых исключается. Соответственно коэффициенты парной корреляции называются коэффициентами нулевого порядка. Коэффициенты частной корреляции более высоких порядков можно определить через коэффициенты частной корреляции более низких порядков по рекуррентной формуле: .