ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ И ПРИНЦИПЫ УПРАВЛЕНИЯ 7 страница

- .

Критерием точности служит значение ошибки в установившемся режиме , причем учитывается как ошибка от входного воздействия , так и от возмущения при .

Критерий запаса устойчивости определяет отдаленность системы от границ устойчивости. Используются два подхода для оценки качества по этому критерию.

Первый основан на рассмотрении переходных процессов (переходных и весовых функций, расположения полюсов и нулей Ф(р) замкнутой системы и т.п.). При этом критериями запаса устойчивости служат величина s и m переходного процесса, его затухание и колебательность.

При втором подходе изучаются частотные характеристики системы, ее резонансные свойства. В качестве критериев запаса устойчивости используют запасы устойчивости по амплитуде и фазе, показатель колебательности и др.

При оценке быстродействия также используются временной и частотный подходы. Критерием быстродействия при временном подходе является время затухания переходного процесса системы t_n, а при частотной – полоса пропускания амплитудной характеристики замкнутой системы.

Существует связь между частотами и временными критериями качества процесса управления, которая в общем виде может быть получена только для простых систем второго порядка.

Частотные критерии более эффективные при оценке качества, т.к. вычисления в частотной области проще, чем во временной.

К комплексным критериям качества относятся обобщенные критерии, характеризующие одновременно точность, запас устойчивости и быстродействия. К ним относятся, прежде всего, интегральные оценки свойств кривой переходного процесса.

4.3 Точность при типовых воздействиях [2,c.67-75; 4,c.203-209]

Точность работы САУ в установившихся режимах оценивается по величине установившейся ошибки при типовых входных и возмущающих воздействиях. Чем меньше эта ошибка, тем выше качество САУ.

Простейшими типовыми режимами работы являются режимы при постоянной величине внешнего воздействия, при изменении внешнего воздействия с постоянной скоростью, с постоянным ускорением (воздействия в виде квадратичной функции), при гармоническом воздействии.

Величина ошибки может быть определена из общего дифференциального уравнения САУ относительно ошибки (см. п. 2.7).

, (4.1)

где D(p), C(p) и – многочлены; l – число действующих на систему возмущений. В установившемся режиме все производные равны нулю .

Преобразуя выражение (4.1) по Лапласу при нулевых начальных условиях, получим изображение ошибки:

, (4.2)

где - передаточная функция замкнутой системы по ошибке;

и - передаточные функции разомкнутой системы по управляющему и возмущающему воздействиям.

Исходя из теоремы о конечном значении:

. (4.3)

Подставив в (4.3) выражение (4.2) получим:

, (4.4)

где и – составляющие установившейся ошибки от воспроизведения входного воздействия и от действия возмущения .

4.3.1 Постоянное ступенчатое воздействие

При этом . Для простоты примем одно возмущение и .

Установившаяся ошибка при этих воздействиях называется статической . Изображения воздействий при этом будут

.

На основании (4.3) и (4.4) получим:

.

отлична от нуля только в статических системах с ,

где В(р) и С(р) не содержат множителя р, а свободные члены равны 1. Тогда - коэффициенту усиления разомкнутой системы. Тогда

. (4.5)

, (4.6)

где - коэффициент статизма системы с разомкнутой цепью управления, равный отношению к постоянному возмущению.

4.3.2 Воздействие, изменяющиеся с постоянной скоростью

При этом , где и .

Такой режим применяется в следящих системах.

В этом случае:

.

Второе слагаемое аналогично (4.6) дает статическую ошибку при .

Первое слагаемое имеет смысл только в случае, когда многочлен С(р), входящий в , не имеет свободного члена. Т.е. W(p) должно иметь нулевой корень и может быть представлено в виде:

.

Тогда первая составляющая установившейся ошибки определяется

, (4.7)

и называется скоростной ошибкой.

При постоянном задающем воздействии в такой системе, обладающей нулевым полюсом в , статическая ошибка , а имеется постоянное значение скоростной ошибки .

Как видно из (4.5) и (4.7) для уменьшения величины ошибок нужно добиваться большого значения общего коэффициента К усиления разомкнутой цепи проектируемой системы.

Можно получить САУ с астатизмом второго и более высокого n-го порядка, при условии, что имеет двойной нулевой полюс или нулевой полюс n-го порядка.

4.3.3 Воздействие изменяется с постоянным ускорением

При этом , где . принимается, как и в предыдущих случаях постоянным. Для такой системы . Первое слагаемое в (4.4) имеет смысл только при астатизме второго порядка, когда:

,

и оно называется ошибкой от ускорения:

.

Аналогично можно говорить и об астатизме системы по отношению к возмущающему воздействию , но нулевыми полюсами должна обладать .

4.3.4 Гармоническое (синусоидальное) воздействие

При этом Установившиеся ошибки в этом случае определяются частотными характеристиками замкнутой системы. Рассмотрим ошибку только от действия входного задающего воздействия:

.

В линеаризированной системе ошибка в установившемся режиме будет меняться также по гармоническому закону .

.

Так как предполагается, что , то модуль знаменателя значительно больше единицы. Поэтому можно записать:

, (4.8)

где - модуль разомкнутой системы при . Чтобы вычислить в установившемся режиме нужно знать аналитическое выражение для , либо АЧХ или АФЧХ экспериментальной разомкнутой системы.

Выражение (4.8) позволяет сформулировать требования к ЛАЧХ , при которых обеспечивается требуемое значение . Для этого необходимо по заданному значению и допустимой вычислить требуемое значение модуля разомкнутой системы в децибелах:

,

Рисунок 4.3 – Определение соответствия ЛАЧХ допустимому значению установившейся ошибки

По полученной контрольной точке для ЛАЧХ определяют выполнение условия Если ЛАЧХ пройдет ниже точки , то ошибка будет больше допустимой, если выше, то не превосходит допустимой.

Если использовать основную АЧХ и ФЧХ

Рисунок 4.4 – Использование ЛАЧХ и ЛФЧХ замкнутой
системы для оценки установившейся ошибки

Установившаяся ошибка воспроизведения определяется заштрихованными областями ординат. Ошибки в амплитуде при (на рис. 4.4, б) является статической ошибки для системы без астатизма. ФЧХ представляет установившуюся ошибку из-за сдвига фазы на выходе по отношению к (рис. 4.4, в):

.

обычно при . В результате получается ограниченный диапазон частот , в котором ошибка воспроизведения амплитуды

не превышает допустимого значения (рис. 4.4, а). Этот диапазон определяет полосу пропускания данной системы, являющуюся важным показателем точности системы. Она характеризует ограничение возможности системы в воспроизведении быстро меняющихся сигналов, что связано с ее инерционностью.

4.4 Точность при медленно произвольно меняющихся воздействиях. Коэффициенты ошибок [2,c.75-79; 4,c.209-211]

Для функции времени или , имеющей произвольную, но достаточно плавную вдали от начальной точки процесса форму, через некоторое время имеет значение только конечное число производных, например:

Изображение ошибки системы от входного задающего воздействия можно определить из (4.2)

.

Если разложить передаточную функцию по ошибке в ряд по возрастающим степеням , то

, (4.9)

сходящийся при малых значениях , т.е. больших значениях времени , что соответствует установившемуся процессу изменения .

Перейдя к оригиналу, получим:

. (4.10)

Величины называются коэффициентами ошибок. Они могут быть определены согласно общему правилу разложения передаточной функции в ряд Тейлора по формулам:

.

Так как является отношением многочленов , то эти же коэффициенты ошибок можно получить делением многочлена числителя на многочлен знаменателя и сравнением получающегося ряда с выражением (4.9). После этого подставив значения коэффициентов в (4.10), получим выражение для . Коэффициент С₀ отличен от нуля только в статических системах. В системах с астатизмом первого порядка С₀ = 0; второго порядка - С₀ = 0 и С₁ = 0, и т.д.

4.5 Определение запаса устойчивости и быстродействия по кривой переходного процесса [4,c.211-213]

Оценку запаса устойчивости и быстродействия можно произвести по виду кривой переходного процесса в САУ при типовом воздействии (входном или возмущающем), например, в виде единичного скачка . При этом кривая будет являться переходной характеристикой системы (рис. 4.5).

Рисунок 4.5 – Оценка запаса устойчивости и быстродействия
по графику переходного процесса

Запас устойчивости может быть охарактеризован перерегулированием

,

допустимая величина которого обычно устанавливается на основании опыта эксплуатации той или иной САУ. В большинстве случаев считается запас устойчивости достаточным, если . Но в некоторых случаях требуется полное отсутствие (монотонный переходный процесс), а может допускаться и 50-70%.

Быстродействие системы может определяться по длительности переходного процесса , после которого

,

где - допустимая ошибка, принимаемая обычно (0,01-0,05) .

Иногда задается допустимое число колебаний за , которое допускается обычно 1-2. Но иногда требуется, чтобы , а может и допускаться до 3-4.

К сожалению, способов точной оценки перечисленных показателей качества переходного процесса без решения соответствующих дифференциальных уравнений САУ не существует. Поэтому используются приближенные и косвенные методы оценки процессов управления не требующие построения кривой переходного процесса.

4.6 Приближенная оценка качества переходного процесса по частотным характеристикам [2,c.112-119; 4,c.213-216; 223-233]

Прежде чем говорить о частотных оценках, установим связь между частотными характеристиками системы и качеством переходного процесса.

Рассмотрим переходный процесс при .

В изображении по Лапласу

где - главная передаточная функция замкнутой системы.

Подставив , запишем выражение для обратного преобразования Фурье (интеграл Фурье):

,

где - АФЧХ замкнутой системы, имеющая вещественную и мнимую частотные характеристики замкнутой системы.

Установившиеся значения . Тогда

.

Заменив и подставив , получим выражение, предварительно отбросив мнимую часть (т.к. вещественно) его:

.

.

Тогда получаем:

. (4.11)

Поскольку даны нулевые начальные условия, то нулевые значения функции распространяются и на t<0. Поэтому подставив в (4.11) вместо t величину –t, получим:

. (4.12)

Складывая и вычитая (4.11) и (4.12) соответственно получим:

,

. (4.13)

Последняя формула (4.13) и используется для частотных оценок качества переходного процесса.

Частотным способом можно определить и весовую (импульсную переходную) функцию замкнутой системы. Если переходной процесс определен при , то . Дифференцируя (4.13), найдем:

.

Существует приближенный способ вычисления по этой формуле. Аналогично находится . Зная и можно определить вынужденную часть процесса управления при любых воздействиях и . Используя интеграл свертки:

4.6.1 Приближенная оценка переходного процесса по вещественной частотной характеристике

Эта оценка возможна на основании известной связи (4.13):

,

где - вещественная частотная характеристика.

При этом предполагается, что переходный процесс вызван скачком входного воздействия .

Анализ выражения (4.13) позволяет судить о переходном процессе по виду вещественной частотной характеристики . Рассмотрим без доказательств некоторые признаки, по которым можно судить о переходном процессе по .