Обработка результатов многократных измерений

Точечная оценка результатов измерений.В практике многократ­ных измерений наибольшее распространение получили точечные и интервальные оценки результатов измерений.

Оценку – числовой характеристики закона распределения случайной величины X_i изображаемую точкой на числовой оси, называют точечной оценкой. В отличие от числовых характерис­тик, оценки являются случайными величинами, значения кото­рых зависят от числа измерений.

Для производственных условий наиболее характерными явля­ются однократные измерения либо многократные измерения, при­чем количество многократных измерений одной и той же величи­ны невелико (n = 5–6 измерений).

Можно говорить лишь о точечной оценке результата измерения. Число измерений невелико, поэтому отделить случайную погреш­ность от систематической не представляется возможным. Посколь­ку измерения осуществляют, как правило, в нормальных услови­ях, то вероятность промахов можно считать достаточно малой.

Результат измерения или среднее значение неоднократно изме­ряемой величины (при n = 5–6 измерений) принимается в каче­стве истинного, а решение о годности размера выбирают исходя из условия, что результат измерения не выходит за предел некото­рой заранее заданной величины, например допуска на изготовле­ние. При этом предельная погрешность средства измерения ±Δlim не должна превышать допускаемой погрешности измерения δ, за­даваемой ГОСТ 8.051–81 в зависимости от допуска на измеряе­мую величину ±Δlim ≤ δ. К точечным оценкам предъявляются тре­бования состоятельности, несмещенности и эффективности.

Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа измерений она приближается (сходится по вероятности) к значе­нию оцениваемого параметра, X → при n → ∞.

Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожи­дание равно оцениваемой величине, т.е. X = .

Оценка называется эффективной, когда её дисперсия является наименьшей S² = min.

Из теории вероятностей известно, что среднее арифметическое значение измерений является несмещенной оценкой истинного значения, а СКО среднего арифметического значения – S – состоятельной и эффективной и определяется по формуле (2.4).

В этом случае точечная оценка результата измерения должна быть представлена в виде:

= …; S = …; n = …,

что позволяет сделать определенные, хотя и достаточно прибли­женные выводы о точности проведенных измерений.

Пример 3. При измерении размера вала Ø55u8 получены следующие результаты, мм:

X₁ = 55,01; Х₂ = 55,13; Х₃ = 55,12; Х₄ = 55,12; Х₅ = 55,12.

Провести точную оценку результатов измерений:

мм;

мм.

Таким образом, результат измерений

= 55,12 мм; σ = 0,02 мм; n = 5.

Результат измерения представляем в форме: ± S = (55,12 ± 0,02) мм.

Интервальные оценки результатов наблюдений. Действительный размер – это размер, полученный в результате измерения с допу­стимой погрешностью измерения. Точечные оценки результатов измерения не позволяют в должной мере оценить достоверность измерения. Формулы (2.1) – (2.3) определяют статистические оцен­ки размеров, т.е. приближенные значения их истинных величин, имеющих место в действительности. Степень приближения истин­ных величин, или точность каждой из оценок, определяется поло­виной ширины построенного для нее доверительного интервала.

Доверительным интервалом параметра X основной совокупно­сти, т.е. совокупности всех возможных значений погрешности, называется интервал вида

где – математическое ожидание параметра X, определяемое по формуле (2.1);

S – СКО, определяемое по формуле (2.2);

n – число измерений; t_β – коэффициент, определяемый из таблиц рас­пределения Стьюдента при n ≤ 30 при заданной доверительной вероятности Р и k = n –1, называемым числом степеней свободы.

Результат измерений в этом случае записывается в виде:

при доверительной вероятности Р.

Значения доверительных интервалов увеличиваются с увеличением доверительной вероятности Р и уменьшаются с увеличением количества наблюдений.

Пример 4. В результате измерений вала, выполненного по Ø50b10 получены следующие результаты, мм:

X₁ = 49,72; Х₂ = 49,74; Х₃ = 49,79; Х₄ = 49,80; Х₅ = 49,82.

Определить доверительный интервал результатов измерений с доверительной вероятностью Р = 0,95.

мм;

мм;

t_β = 0,27 – при k = 4, Р = 0,95.

Граница доверительного интервала

мм.

Результат измерений записывают в виде:

± ε_β = (49,78 ± 0,05) мм (при n = 5; Р = 0,95).

Это означает, что истинное значение измеряемого размера с вероятностью 0,95 находится в пределах от 49,73 до 49,83 мм при заданном числе измерений.

Методы проверки нормального закона распределения случайных величин. При статистической обработке результатов измерений осо­бую роль играет проверка соответствия распределения случайных величин нормальному закону, которому чаще всего подчиняются результаты большинства случайных измерений, что необходимо для обоснованного выбора доверительных границ результатов из­мерений и оценки точности измерений. В наибольшей степени этой цели соответствует критерий χ² (критерий Пирсона).

При использовании критерия Пирсона количество измерений должно быть не менее 40.

Обычно принимается следующий порядок решения задачи.

1) Диапазон полученных результатов измерений делят на г ин­тервалов шириной ΔX_j (i = 1, 2, ..., г).

2) Для каждого интервала подсчитывают частоты m_i, равные количеству результатов, лежащих в каждом i-м интервале.

3) Определяют частость появления величин Р_i* в каждом интервале:

Р_i* = m_i / n,

где n – общее количество измерений, индекс «*» означает статическую оценку.

4) Находят оценку средней плотности распределения р_i* случай­ной величины X_i в каждом интервале Δ X_i:

,

где n_i – количество измерений в i – м интервале.

5) Строят гистограмму распределения величины X_i откладывая по оси абсцисс результаты наблюдений в виде интервалов Δ X_i в порядке возрастания индекса i, а по оси ординат – оценку сред­ней плотности распределения р_i, получая тем самым прямоуголь­ник с высотой р_i*.

Естественно, что площадь всех построенных прямоугольников равна единице, поскольку в нее входят все 100 % наблюдений

.

При построении гистограммы число интервалов г выбирают в зависимости от числа измерений и исходя из соотношений: при n = 40...100 г = 7...9, а при n = 100...500 г = 8...12, а масштабы по осям гистограммы рекомендуется принимать такими, чтобы отно­шение ее высоты к основанию составляло 5:8.

6) Соединяя середины отрезков, получают полигон распределе­ния. Характер ломаной линии позволяет сделать предположение о виде распределения, что дает возможность с большей долей веро­ятности подобрать соответствующую кривую распределения.

Если СКО и математическое ожидание полигона распределе­ния близки к значениям СКО и математическому ожиданию кри­вой нормального распределения, то этот вид распределения мож­но положить в основу гипотезы о правомерности такого предполо­жения.

Поскольку предположение основано на результатах опытных данных случайных величин, оно должно быть подтверждено обыч­ными методами математической статистики по критериям согла­сия. При числе наблюдений более 40 рекомендуется принимать критерий согласия χ² – Пирсона.

При этом возможны два вида ошибок: ошибка первого рода, со­стоящая в том, что в силу случайного характера результатов измерений отвергают верную гипотезу. Вероятность ошибки первого рода называют уровнем значимости q = 1 – α., где α – уровень доверительной вероятности, и выбирают в пределах 0,05…0,10.

Принимая неверную гипотезу, совершают ошибку второго рода, – q_i, значение которой колеблется в пределах 0,95…0,9 соответственно. Физический смысл которой состоит в том, что принимают ошибочное решение о несоответствии распределения случайной величины X_i правильно выбранному теоретическому распределению.

Пример 5. При контроле размера Ø было сделано 100 из­мерений, причем все они оказались лежащими в диапазоне 8,911...8,927, т.е. зона разброса размера составляет 8,911 – 8,927 = 0,016 мм. В этом случае весь диапазон целесообразно распреде­лить на 8 интервалов равной длины через 0,002 мм.

Значения величин, полученных при вычислениях, представле­ны в виде табл. 2.5.

Таблица 2.5

Результаты расчётов

По результатам расчетов строим гистограмму и полигон рас­пределений.

Характер распределения позволяет высказать предположение о нормальном законе распределения, однако эта гипотеза должна быть проверена по критерию χ² – Пирсона. С этой целью:

проводят группировку данных измерений аналогично ранее описанному принципу. Если в интервале оказывается менее 5 из­мерений, его объединяют с соседним;

определяют среднее арифметическое значение и оценку СКО S, которые принимают за параметры теоретического нормально­го распределения с плотностью вероятности Р_Х(Х);

находят вероятность попадания в интервал результатов измере­ний по формуле

,

где х_i и х_i+1 – результаты измерений в i-м и (i +1)-м интервалах;

вычисляют величину χ_i² (i = 1, 2, …, r) для каждого интервала, затем меру расхождения χ² при числе степеней свободы k = r – 3.

Задавая уровень значимости q = 1 – α, значения и находят по таблицам интегральной функции распределения χ_k² (таблицы интегральной функции χ² – распределения Пирсона, значения χ²_{х, Р} для различных k и P).

Если расчётное значение оказывается в найденных пределах – распределение результатов измерений принимают нормальным.

Пример 6. Проверить на соответствие нормальному закону по­лученное распределение в предыдущем примере (табл. 2.5) и пред­ставленного гистограммой (рис.2.2). Статистические характерис­тики наблюдений:

= 8,91936 мм и S = 0,0028 мм.

Вычисления запишем в табл. 2.6. Плотности нормированного нормального распределения Р(t_i) взяты из таблицы дифференци­альной функции нормированного нормального распределения, а число степеней свободы k = 8 – 2 –3 = 3, поскольку два первых и два последних интервала объединены в один (в пер­вом и последнем частота наблюдений m_i < 5).

Задавая уровень значимости q = 0,10, находим по таблице ин­тегральной функции χ²

Поскольку соблюдается соотношение 0,352 < 1,1252 < 7,815, то опытное распределение можно считать нормальным.