Погрешности измерений

Общие положения. Процесс измерения неизбежно сопровожда­ется ошибками, которые вызываются несовершенством измери­тельных средств, нестабильностью условий проведения измерений, несовершенством самого метода и методики измерений, недоста­точным опытом и несовершенством органов чувств человека, вы­полняющего измерения, а также другими факторами.

Погрешностью измерения называется отклонение результата из­мерения от истинного значения измеряемой величины:

ΔХ_изи = Х_i – Х_и,

где X_j – i-е значение результата измерения;

Х_и – истинное значе­ние измеряемой величины.

Поскольку истинное значение измеряемой величины всегда остается неизвестным, за него при многократных измерениях при­нимается среднее арифметическое значение :

, (2.1)

где n – количество проведенных измерений.

Погрешность измерения (ΔХ_изи), выраженная в единицах изме­ряемой величины, называется абсолютной. Она не всегда является информативной. Например, абсолютная погрешность 0,01 мм мо­жет быть достаточно большой при измерениях величин в десятые доли миллиметра и малой при измерениях величин, размеры ко­торых превышают несколько метров.

Более информативной величиной является относительная по­грешность, под которой понимают отношение абсолютной погреш­ности измерения к её истинному значению (или математическому ожиданию), %:

.

Именно относительная погрешность используется для характе­ристики точности измерения.

По своему характеру (закономерностям проявления) погреш­ности измерения подразделяются на систематические, случайные и грубые промахи.

Систематические погрешности. К систематическим погрешнос­тям относят погрешности, которые при повторных измерениях остаются постоянными или изменяются по какому-либо закону. Систематические погрешности при измерении одним и тем же методом и одними и теми же измерительными средствами всегда имеют постоянные значения. К причинам, вызывающим их появ­ление, относят:

– погрешности метода или теоретические погрешности;

– инструментальные погрешности;

– погрешности, вызванные воздействием окружающей среды и условий измерения.

Погрешности метода происходят вследствие ошибок или недо­статочной разработанности метода измерений. Сюда же можно от­нести неправомерную экстраполяцию свойства, полученного в результате единичного измерения, на весь измеряемый объект. Например, принимая решение о годности вала по единичному измерению, можно допустить ошибку, поскольку не учитываются такие погрешности формы, как отклонения от цилиндричности, круглости, профиля продольного сечения и др. Поэтому для ис­ключения такого рода систематических погрешностей в методике измерений рекомендуется проведение измерений в нескольких местах деталей и взаимно-перпендикулярных направлениях.

К погрешностям метода относят также влияние инструмента на свойства объекта (например, значительное измерительное усилие, изменяющее форму тонкостенной детали) или погрешности, свя­занные с чрезмерно грубым округлением результата измерения.

Инструментальные погрешности связаны с погрешностями средств измерения, вызванными погрешностями изготовления или износом составных частей измерительного средства.

К погрешностям, вызванным воздействием окружающей среды и условий измерений, относят температуру (например, измерения ещё не остывшей детали), вибрации, нежёсткость поверхности, на которую установлено измерительное средство, и т. п.

Одним из методов обнаружения систематической погрешности может быть замена средства измерений на аналогичное в случае, если оно предположительно является источником систематичес­кой погрешности. Подобным образом можно обнаружить система­тическую погрешность, вызванную внешними условиями: напри­мер, замена поверхности, на которую установлено измерительное средство, на более жёсткую.

Появление систематической погрешности можно обнаружить статистически, нанося с заданной периодичностью результаты измерений на бумагу с заданными границами (например, предель­ными размерами). Устойчивое движение результата измерений в сторону одной из границ будет означать появление систематичес­кой погрешности и необходимости вмешательства в технологичес­кий процесс.

Для исключения систематической погрешности в производствен­ных условиях проводят поверку средств измерений, устраняют те причины, которые вызваны воздействиями окружающей среды, а сами измерения проводят в строгом соответствии с рекомендуе­мой методикой, принимая в необходимых случаях меры по ее со­вершенствованию.

Постоянные систематические погрешности не влияют на зна­чения случайных отклонений измерений от средних арифметичес­ких, поэтому их сложно обнаружить статистическими методами. Анализ таких погрешностей возможен только на основании апри­орных знаний о погрешностях, получаемых, в частности, при по­верке средств измерений. Например, при поверке средств измере­ний линейных величин измеряемая величина обычно воспроизво­дится образцовой мерой (концевой мерой длины), действитель­ное значение которой известно. Систематические погрешности приводят к искажению результатов измерений и потому должны выявляться и учитываться при оценке результатов измерений. Пол­ностью систематическую погрешность исключить практически не­возможно; всегда в процессе измерения остается некая малая ве­личина, называемая неисключенной систематической погрешно­стью. Эта величина учитывается путем внесения поправок.

Разность между средним арифметическим значением результа­тов измерения и значением меры с точностью, определяемой по­грешностью при ее аттестации, называется поправкой. Она вносит­ся в паспорт аттестуемого средства измерения и принимается за искомую систематическую погрешность.

Случайные погрешности. Случайные погрешности – это погреш­ности, принимающие при повторных измерениях различные, не­зависимые по знаку и величине значения, не подчиняющиеся ка­кой-либо закономерности. Причин, вызывающих случайные по­грешности, может быть много; например колебание припуска на обработку, механические свойства материалов, посторонние вклю­чения, точность установки деталей на станок, точность средства измерения заготовки, изменение измерительного усилия крепле­ния детали на станке, силы резания и др.

Как правило, индивидуальное влияние каждой из этих причин на результаты измерения невелико и не поддается оценке, тем более, что, как всякое случайное событие, оно в каждом конкрет­ном случае может произойти или нет.

Для случайных погрешностей характерен ряд условий:

– малые по величине случайные погрешности встречаются чаще, чем большие;

– отрицательные и положительные относительно средней величины измерений, равные по величине погрешности, встречаются одинаково часто;

– для каждого метода измерений есть свой предел, за которым погрешности практически не встречаются (в противном случае эта погрешность будет грубой).

Выявление случайных погрешностей особенно необходимо при точных, например, лабораторных измерениях. Для этого исполь­зуют многократные измерения одной и той же величины, а их результаты обрабатываются методами теории вероятностей и ма­тематической статистики. Это позволяет уточнить результаты вы­полненных измерений.

Влияние случайных погрешностей выражается в разбросе полу­ченных результатов относительно математического ожидания, по­этому количественно наличие случайных погрешностей хорошо оценивается среднеквадратическим отклонением (СКО).

Для оценки рассеяния результатов измерений физической ве­личины X_i относительно среднего , определяемого по (2.1), СКО определяется по формуле

при n ≥ 20 (2.2)

или

при n ≤ 20, (2.3)

где n – число измерений.

Поскольку среднее значение серии измерений является слу­чайным приближением к истинному значению измеряемой вели­чины, то для оценки возможных отклонений среднего значения используется опытное СКО – S :

. (2.4)

Величина S применяется при оценке погрешностей оконча­тельного результата.

Случайные погрешности измерения, не изменяя точности ре­зультата измерений, тем не менее, оказывают влияние на его до­стоверность.

При этом дисперсия среднего арифметического ряда измере­ний всегда имеет меньшую погрешность, чем погрешность каждо­го определенного измерения. Из формул (2.2) и (2.3) следует, что если необходимо повысить точность результата (при исключенной систематической погрешности) в 2 раза, то количество измере­ний надо увеличить в 4 раза.

Грубые погрешности (промахи). Грубые погрешности – это погрешности, не характерные для технологического процесса или результата, приводящие к явным искажениям результатов измере­ния. Наиболее часто они допускаются неквалифицированным персоналом при неправильном обращении со средством измерения, неверным отсчетом показаний, ошибками при записи или вслед­ствие внезапно возникшей посторонней причины при реализации технологических процессов обработки деталей. Они сразу видны среди полученных результатов, так как полученные значения от­личаются от остальных значений совокупности измерений.

Если в процессе измерений удается найти причины, вызываю­щие существенные отличия, и после устранения этих причин по­вторные измерения не подтверждают подобных отличий, то такие измерения могут быть исключены из рассмотрения. Но необдуман­ное отбрасывание резко отличающихся от других результатов из­мерений может привести к существенному искажению характери­стик измерений. Иногда при обработке результатов измерений учёт всех обстоятельств, при которых они были получены, не пред­ставляется возможным. В таком случае при оценке грубых погреш­ностей приходится прибегать к обычным методам проверки стати­стических гипотез.

Проверяемая гипотеза состоит в утверждении, что результат измерений X_i не содержит грубой погрешности, а является одним из значений случайной величины. Обычно проверяют наибольшее Х_mах и наименьшее X_min значения результатов измерений. Для про­верки гипотез используются следующие критерии.

1) Если число измерений n ≤ 10, то может быть использован критерий Шовине. В этом случае грубой ошибкой (промахом) считается результат Х_i если разность превышает значе­ния S, определяемые в зависимости от числа измерений:

где σ_х – СКО, полученное по формуле (2.3).

2) Критерий Романовского, используемый при числе измерений 10 < n < 20. При этом вычисляют отношение

и полученное значение β сравнивают с теоретическим β_т при вы­бираемом уровне значимости q (см. табл. 2.4). Напомним, что уро­вень значимости – это вероятность отвергнуть верную гипотезу при статистической проверке гипотезы. Обычно при обработке результатов измерений её значение принимают в пределах 0,05...0,1. Если β превышает β_т то результат Х_i считается грубой ошибкой.

Таблица 2.4

Таблица значений β_т = f(n)

3) Критерий 3S – наиболее распространённый. Он используется, когда количество измерений n ≥ 20…50. В этом случае считается, что результат, полученный с вероятностью Р = 0,003, маловероятен и его можно квалифицировать как промах, т. е. сомнительный результат Х_i должен быть исключён из измерений, если

> 3S.

Пример 1. При измерении отверстия Ø20Н13(^+0,33) получены следующие результаты:

Ø20,32; Ø20,18; Ø20,26; Ø20,21; Ø20,28; Ø20,42 мм.

Необходимо проверить является ли размер Ø20,42 мм промахом.

Поскольку n = 6, применяется критерий Шовине:

из уравнения (2.1) найдём

мм;

по уравнению (2.3) найдём S

мм;

Это означает, что хотя результат и выходит за заданный предельно допустимый размер, его нельзя считать промахом. Поэтому деталь следует забраковать.

Пример 2. При измерении вала Ø40h12(_-0,25) получены следующие результаты: 39,72; 39,75; 39,76; 39,80; 39,81; 39,82; 39,82; 39,83; 39,85; 39,87; 39,88; 39,88; 39,90; 39,91; 39,92; 39,92; 39,93; 39,94; 39,96; 39,98; 39,99 мм.

Поскольку результат 39,72 мм выходит за пределы наименьшего предельного размера и деталь может быть забракована, следует определить, не является ли этот размер промахом.

Так как число измерений превышает 20, можно воспользоваться критерием S. После обработки результатов измерений получаем:

= 39,91 мм, S =0,12 мм,

тогда 3S = 3·0,12 = 0,36 мм

Следовательно, результат измерения 39,72 мм не может быть признан промахом и деталь должна быть забракована.