Значуща цифра числа. Вірна значуща цифра

Будь-яке наближене число а в десятинній (як і у будь-якій позиційній) системі числення можна записати у вигляді

(1.5)

де а_і – цифри числа (і = 1, 2, …, n) (а₁ ¹ 0); m – ціле число (старший розряд числа а).

Приклад 1.3141,59 = 3·10³ + 1·10² + 4·10¹ + 1·10⁰ + 5·10^-1 + 9·10^-2.

Точність обчислення визначає не кількість десятинних знаків, а кількість значущих цифр результату.

Значущими цифрами числа а називають всі цифри в його десятинному зображенні, починаючи з першої цифри зліва, відмінної від нуля. Наприклад, числа 0,001405 і 5,0300 мають відповідно чотири і п‘ять значущих цифр.

Нулі в кінці числа 5,0300 показують, що число задане з точністю до десятитисячних, інакше вони не були б записані.

Точність наближеного числа залежить не від кількості значущих цифр, а від того, скільки значущих цифр заслуговують довіри, тобто від кількості правильних значущих цифр.

Значущу цифру а_n числа (1.5) називають правильною, якщо абсолютна похибка цього числа

Δ_а £ w·10^m^-ⁿ⁺¹. (1.6)

В залежності від величини w в (1.6) говорять про правильність значущих цифр у вузькому (w = 0,5) і широкому (w = 1,0) сенсі. Якщо нерівність (1.6) не виконується, то цифру а_n називають сумнівною.

Таким чином, приблизне число амістить n правильних цифр (в вузькому сенсі), якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половини одиниці десятинного розряду, який виражається значущою цифрою, рахуючи зліва направо.

Приклад 2. Для точного числа А=17,976 число а=17,98 є приблизним числом з 4-ма вірними знаками в вузькому сенсі, тому що

Δ_а = = = 0,004 ≤ 0,5·10^1-4+1 = 0,5·10^-2 = 0,005.

Число а=17,97 є приблизним з 4-ма вірними цифрами в широкому сенсі, тому що

Δ_а = = = 0,006 < 1·10^1-4+1 = 1·10^-2 = 0,01.

Число а=17,97 є приблизним тільки з 3-ма вірними цифрами в вузькому сенсі, тому що

Δ_а = = = 0,006 > 0,5·10^1-⁴⁺¹ = 1·10^-² = 0,005.

Приклад 3. Визначити скільки вірних значущих цифр містить приблизне число а=85,267 ± 0,0084 в вузькому і широкому сенсі.

Із умови видно, що 0,0084 < 0,05. Тоді в вузькому сенсі:

0,05 = 0,5∙10^m^-ⁿ⁺¹

при m = 1 (розряд десяток) маємо 0,5·10^-1 = 0,5∙10^1-ⁿ⁺¹ → -1=1- n +1 → n = 3.

Таким чином, вірними є цифри 8, 5 і 2.

В широкому сенсі 0,0084 < 0,01. При m = 1 (розряд десяток) маємо 1·10^-2 = 1∙10¹^-ⁿ⁺¹ → -2=1- n +1 → n = 4. Таким чином, вірними є цифри 8, 5, 2 і 6.

Приклад 4.Визначити граничну абсолютну похибку приблизних чисел а=96,387 і b=9,32, якщо вони містять тільки вірні цифри в вузькому і широкому сенсах відповідно.

Тому що для числа а=96,387 остання цифра 7, що стоїтьв розряді тисячних знаків є вірною значущою цифрою в вузькому сенсі, то Δ_а ≤ 0,5∙0,001, тобто Δ^*а = 0,0005. Тоді число а можна записати в вигляді а=96,387 ± 0,0005.

Для числа b=9,32 остання цифра 2, що стоїтьв розряді ситих знаків є вірною значущою цифрою в широкому сенсі, то Δ_b ≤ 1∙0,01, тобто Δ^*b = 0,01. Тоді число b можна записати в вигляді а=9,32 ± 0,01.

1.4 Оцінка похибки функції (Загальна задача теорії похибок)

Задача полягає у визначенні похибки функції U = f за відомими абсолютними (граничними) похибками аргументів