Метод простої ітерації.

В загальному випадку задана СЛАР (3.2), яка записана в розгорнутому матричному вигляді (3.5). Якщо припустити, що діагональні елементи матриці А (і = 1, 2, …, n), то можна перевести систему до канонічного виду і потім виразити х₁ через перше рівняння системи, х₂ – через друге рівняння і т. д. У результаті одержимо систему, яка еквівалентна системі (3.2):

(3.9)

Позначимо , де і, j = 1, 2, …, n. Тоді система (3.9) запишеться так:

(3.10)

Систему (3.10) називають приведеною до нормального виду. Ця система в матричній формі запису:

або

(3.11)

Після нормалізації системи перевіряється умова збіжності ітераційного процесу. Ознакою збіжності є умова того, що будь-яка з норм матриці менша від одиниці, тобто

де q – норма матриці , яка може бути визначена за однією із формул:

, .

Алгоритм методу простої ітерації наступний:

- за нульове наближення приймається стовпець вільних членів:

– нульове наближення,

далі будуються матриці-стовпці наступних наближень:

– перше наближення;

– друге наближення

і т.д.

Взагалі, будь-яке (k+1)-е наближення обчислюють за формулою

(k = 0, 1, …, n). (3.12)

Ітераційний процес продовжується доти, поки не буде виконано умову

де – задана абсолютна похибка.

В методі ітерацій заміна значень всіх змінних проводиться одночасно (одночасне зміщення).

Приклад 1. Розрахувати струми в гілках електричного кола (рис. 3.1) методом простої ітерації.

У матричному виді система (1.1) запишеться наступним чином (за даними параметрів схеми рис. 1.1):

або (3.13)

Перед приведенням системи до нормального виду необхідно за допомогою еквівалентних перетворювань зробити систему (3.13) придатну ітераційному процесу. Для цього слід за допомогою перестановки і алгебраїчних дій з рівняннями системи добитися, щоб елементи головної діагоналі матриці мали максимальне за модулем значення. Тобто:

- друге рівняння запишеться замість першого;

- з першого рівняння, домноженого на 10 віднімається третє рівняння і результат записується замість другого рівняння;

- третє рівняння залишається без змін.

В результаті система (1.13) набуває виду:

(3.14)

Для переводу до нормального виду кожне рівняння системи треба розділити на відповідні елементи, що розташовані на головної діагоналі.

Для СЛАР (3.14), що еквівалентна системі (3.1), нормальний вид наступний:

(3.15)

Для застосування методу простої ітерації матрична система переписується у формі (3.11), тобто:

.(3.16)

З (3.16) слідує, що і , тобто умова збіжності ітераційного процесу (норма матриці менша від одиниці) виконується як по рядках, так і по стовпцях.

Нульове наближення, що дорівнює з (1.12): .

Задається абсолютна похибка розрахунку

Перше наближення згідно ітераційній формулі методу (3.12):

Знаходиться друге наближення:

Третє наближення:

Аналогічно знаходяться наступні наближення розв'язки задачі:

Перевірка умови закінчення ітераційного процесу після 14-го кроку:

За чотирнадцять кроків ітераційний процес закінчився з заданою точністю.

Струм в гілках схеми (рис. 1.1) становить:

Перевірка у вузлі „а” (рис. 1.1) за першим законом Кірхгофа виконується з точністю до (0,269 + 1,579) – 1,842 = 0,006 А.

Метод Зейделя.

В методі Зейделя уточнене значення х₁ зразу ж використовується для обчислення х₂, далі нові значення х₁ і х₂ використовуються для обчислення х₃ і т. д.

Це невелике удосконалення ітераційної процедури дозволяє суттєво збільшити швидкість збіжності.

Будь-яке (k+1)-е наближення в методі Зейделя будується за наступними формулами:

(3.17)

де k = 0, 1, 2, …, n.

Ітерації закінчуються, коли із заданою точністю одержано однакові значення невідомих у двох ітераціях підряд.

Умови збіжності ітераційного процесу подібні умовам для простої ітерації, тобто ітераційний процес і його збіжність залежать від величини елементів матриці наступним чином: якщо найбільша сума модулів елементів рядків або найбільша сума модулів елементів стовпців менше одиниці, то процес ітерації для даної системи збігається до єдиного розв'язку незалежно від вибору початкового наближення.

Отже, умови збіжності можна записати так:

(i = 1, 2, …, n) або (j = 1, 2, …, n).

Як і в методі простої ітерації треба привести СЛАР до виду, який придатний для ітерацій. Для виконання умов збіжності ітераційного процесу достатньо, щоб значення елементів матриці при були невеликими з абсолютної величини. Це рівносильно тому, що якщо для СЛАР модулі діагональних коефіцієнтів кожного рівняння системи більше суми модулів всіх інших коефіцієнтів (без врахування вільних членів), то ітераційні процеси для цієї системи збігаються.

Окремо, на прикладі показується, як виконується еквівалентне перетворення вихідної СЛАР і отримується нормалізована система в загальному випадку.

Вихідна СЛАР:

Виконуються наступні дії:

а) в заданій системі виділяються рівняння з коефіцієнтами, модулі яких більші за суму модулів інших коефіцієнтів рівняння. Кожне виділене рівняння записується в таку строку нової СЛАР, щоб найбільший за модулем коефіцієнт був діагональним. В рівнянні (Q) виконується таке: . Рівняння (Q) приймається за третє рівняння нової системи.

б) інші рівняння нової еквівалентної системи одержуються шляхом складання лінійних незалежних між собою комбінацій. Так, за перше рівняння можна прийняти таку лінійну комбінацію (P)+(R), тоді:

За друге рівняння нової системи – таку комбінацію: (2Q)+(R)-(P), тобто

В результаті одержано перетворену СЛАР яка еквівалентна вихідній і задовольняє умовам збіжності ітераційного процесу:

Для перевірки цього твердження еквівалентна система приводиться до нормального виду і перевіряється, чи задовольняється хоч одна з умов збіжності.

При цьому використовується такий спосіб: записуються коефіцієнти при невідомих x₁, x₂, x₃ у відповідних рівняннях системи як m·x, де m – число, що близьке до коефіцієнта при відповідному невідомому і на яке легко розділити коефіцієнти при невідомих і вільні члени.

Наприклад, приймається m = 10. Тоді система, що приводиться до нормального виду, перепишеться так:

або

Матриця і вектор приймають вид

, .

Суми модулів елементів рядків матриці :

0,24 + 0,05 + 0,24 = 0,53;

0,22 + 0,09 + 0,44 = 0,75;

0,18 + 0,25 + 0,54 = 0,97.

Більша із сум 0,97 < 1. Отже, одна з умов збіжності ітераційного процесу виконується. І хоч друга умова не виконується (більша сума модулів елементів стовпців 0,24 + 0,44 + 0,54 = 1,22 > 1) процес ітерації для системи, що розглядається, збігається до єдиного розв‘язку.

Приклад 2. Розрахувати струми в гілках електричного кола (рис. 3.1) методом Зейделя.

Розв'язується СЛАР (3.13) з прикладу 1.

Після еквівалентних перетворювань система має вид (3.14)

Надалі еквівалентна СЛАР приводиться до нормального виду, що придатний до проведення ітерацій, за допомогою коефіцієнта m= 20, аналогічно попередньому прикладу еквівалентних перетворювань, але з урахуванням матричної форми запису системи рівнянь.