Момент инерции математической точки, тело относительно неподвижной оси(от чего зависить)

Момент инерции

При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции. Моментом инерциисистемы (тела) отно­сительно оси вращения называется физи­ческая величина, равная сумме произведе­ний массn материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматри­ваемой оси:

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с коорди­натамих, у, z.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой Л и радиусом R относительно его геометрической оси (рис.23). Разобьем

цилиндр на отдельные полые концентриче­ские цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусомrи внешним —r+dr. Момент инерции каждого полого цилиндраdJ = r²dm (так какdr<<r, то считаем, что расстояние всех точек ци­линдра от оси равноr), гдеdm — масса всего элементарного цилиндра; его объем2prhdr. Еслиr— плотность материала, тоdm=r•2prhdr иdJ = 2prr³dr. Тогда мо­мент инерции сплошного цилиндра

но так как pR'²h — объем цилиндра, то его массаm=pR²hr, а момент инерции

J=1/2R².

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относи­тельно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера:момент инерции телаJотносительно любой оси вращения равен моменту его инерцииJ_c относительно параллельной оси, про­ходящей через центр массС тела, сло­женному с произведением массыmтела на квадрат расстоянияамежду осями:J = J_c + ma². (16.1)

Таблица 1

В заключение приведем значения мо­ментов инерции (табл. 1) для некоторых тел (тела считаются однородными, т — масса тела).

Теорема Штейнера