Тень Земли в месте расположения Луны во время лунного затмения широка настолько, что может точно вместить сферу диаметром в два раза больше Луны.

Обозначим P точку, где находится вершина конуса тени, отбрасываемой Землей. У нас получается три подобных треугольника: треугольник, образованный поперечным диаметром Солнца и линиями между его концами и точкой P; треугольник, образованный поперечным диаметром Земли и линиями между его концами и точкой P ; и треугольник, образованный двойным поперечным диаметром Луны и линиями между его концами и точкой P (см. рис. 5в). Следовательно, соотношения подобных сторон во всех этих треугольниках взаимно равны. Предположим, что точка P находится на расстоянии d₀ позади Луны. Тогда расстояние между этой точкой и Солнцем составляет d_с + + d_л + d₀ , а между ней же и Землей – d_л + d₀ , поэтому

Выполнив несложные алгебраические преобразования, мы можем найти из второго равенства выражение для d₀ :

Подставляя его в первое равенство и перемножая обе части на D_зD_с (D_з – 2D_л ), получаем:

Слагаемые d_лD_с × (−2D_л ) в левой части и 2D_лd_лD_с в правой части взаимно обращаются в 0. Оставшиеся в правой части слагаемые имеют общий множитель D_з , который сокращается с множителем D_з в левой части. Таким образом, у нас получается формула для D_з :

Зная результат наблюдения 2, то есть выведенное нами равенство d_с /d_л = D_с /D_л , уравнение выше может быть записано с использованием одних лишь диаметров небесных тел:

Если мы используем полученное ранее численное значение D_с /D_л = 19,1, это даст D_з /D_л = 2,85. Аристарх выразил значение этого отношения как лежащее между 108/43 = 2,51 и 60/19 = 3,16, и число 2,85 замечательно попадает в этот промежуток. Но его настоящее значение равно 3,67. Причина того, что результат Аристарха оказался довольно близок к истинной величине, несмотря на сильную ошибку в оценке отношения D_с /D_л , в том, что результат вычисления малочувствителен к точному значению D_с , если D_с много больше D_л . В самом деле, если мы совсем выкинем из знаменателя слагаемое D_л как ничтожно малое по сравнению с D_с , то D_с в числителе и знаменателе сократятся, и у нас получится просто D_з = 3D_л , что не так уж далеко от истины.

Но значительно более важное историческое значение имел тот факт, что, совмещая значения отношений D_с /D_л = 19,1 и D_з /D_л = 2,85, легко найти, что D_с /D_з = 19,1/2,85 = 6,70. И хотя по‑настоящему D_с /D_з = 109,1, уже и такой результат показывал, что Солнце значительно больше Земли. Аристарх усилил эффект, показав сравнение соотношения не диаметров, а объемов двух тел: если соотношение их диаметров равно 6,7, то соотношение их объемов будет равняться 6,73 = 301. Именно это сопоставление, если верить Архимеду, привело Аристарха к мысли, что Земля обращается вокруг Солнца, а не Солнце вокруг Земли.

Уже описанные нами выкладки Аристарха дают значения всех соотношений диаметров Солнца, Луны и Земли, а также значение отношения расстояний до Солнца и Луны. Однако пока мы никак не можем связать соотношением какой‑либо диаметр тела с расстоянием между телами. Это становится возможно при учете результата четвертого наблюдения:

Наблюдение 4