Вариационные основы МКЭ

При решении многих задач статики, динамики и устойчивости сооружений определяется их полная потенциальная энергия U:

U = W – V. (1)

Здесь W – работа внешних сил, V – работа внутренних сил. Обычно все они представляются в виде функций, зависящих от перемещений, деформаций, напряжений элементов расчетной модели сооружения.

Исследование этого выражения позволяет выявить важные законы механики, называемые принципами. Например, в теоретической механике известен принцип Лагранжа-Дирихле: для того чтобы механическая система находилась в равновесии, ее полная потенциальная энергия должна быть постоянной. Из этого принципа следует, что приращение полной потенциальной энергии системы, находящейся в равновесии, должно равняться нулю:

Вычисление приращения функции обычно заменяется вычислением его приближенного значения − дифференциала. В этом случае получается вариационное уравнение Лагранжа

,

где символ означает вариацию, вычисление которого схоже с вычислением дифференциала функции. Это уравнение позволяет свести задачу определения НДС сооружения к отысканию экстремума полной потенциальной энергии.

С учетом (1) вариационное уравнение Лагранжа принимает вид

.

Оно формулируется как принцип Лагранжа: вариация работы внутренних сил равна вариации работы внешних сил.

Принцип Лагранжа используется для сведения континуальной задачи расчета сооружений к дискретной задаче путем аппроксимации (приближенного определения) непрерывных полей перемещений, деформаций, напряжений внутри конечного элемента по его узловым перемещениям.

В строительной механике используются и другие вариационные принципы, аналогичные принципу Лагранжа, такие как принципы Кастильяно, Рейсснера, Ху-Вашицу и др. Однако мы воспользуемся только вариационным принципом Лагранжа как основой варианта МКЭ в форме метода перемещений.

Аппроксимация КЭ

Имея КЭ разного типа, при выборе конечно-элементной модели сооружения можно вводить узлы с разным числом степеней свободы. Например, в плоской системе могут рассматриваться узлы как с тремя степенями свободы (рис. 14.2 а), так и с двумя (рис. 14.2 б) или даже с одной степенью свободы. В первом случае учитываются два линейных (поступательных) и одно угловое перемещение узла, во втором – два линейных перемещения, а в третьем − лишь одно поступательное перемещение. В пространственной системе узлы могут иметь шесть (рис. 14.2 в) или три степени свободы (рис. 14.2 г).

Рис. 14.2

Для упорядочения степеней свободы и соответствующих перемещений узлов КЭ все они нумеруются в определенном порядке и собираются в общий вектор перемещений u.

Чтобы воспользоваться принципом Лагранжа, вводятся так называемые координатные функции, аппроксимирующие непрерывное поле перемещений внутри КЭ через перемещения ее узлов:

Здесь – вектор перемещений внутренних точек КЭ,C– матрица координатных функций, – вектор коэффициентов. Элементы матрицы C выбираются в виде полиномов, непрерывных внутри КЭ. Если в полиноме учитывается минимальное число членов, то такой КЭ называется симплекс-элементом. При учете большего числа членов полинома КЭ называется комплекс-элементом.

В качестве простейшего примера рассмотрим ферменный КЭ с узлами i и j (рис. 14.3 а) в местной системе координат . Его узлы имеют по одной поступательной степени свободы по оси и соответствующие им узловые перемещения и . Допустим, что в узлах КЭ приложены силы и (рис. 14.3 б).