Цифрового канала связи при наличии помех
Канал связи называется цифровым, если передаваемые по нему дискретные сообщения можно представить в виде чисел. Например, при использовании двоичного кода, когда алфавит сообщений равен двум, символам x1 и х2 можно приписать соответственно цифры 1 и 0. Тогда кодовые комбинации, состоящие из трёх позиций, например х1х2х1, x2x1x2 , x2x1x1 записанные в виде 001, 010, 011, можно рассматривать как цифры 1, 2, 3 в двоичном коде.
Производительность источника сообщений характеризуется скоростью R создаваемой информации. Аналогично можно ввести понятие Rk - скорости передачи информации канала связи с помехами
, (3.9)
где Ii количество информации, переносимой одним символом сообщения по каналу связи с помехами (3.8); F - полоса пропускания канала.
Пропускной способностью С канала связи будем называть наибольшее количество информации, которое может быть передано в единицу времени по этому каналу:
. (3.10)
В общем случае для нахождения пропускной способности необходимо максимизировать скорость передачи. Однако если считать, что полоса пропускания канала F и эффект действия помех заданы, то максимизация скорости передачи сводится к определению максимума энтропии сообщения. Так как для дискретного сообщения максимум энтропии зависит от алфавита, а при отсутствии помех , то пропускную способность цифрового канала связи можно определить выражением
. (3.11)
Найдём пропускную способность цифрового канала связи с помехами, по которому передаются кодовые комбинации с основанием кода, равным двум. Такой цифровой канал будем называть двоичным.
Граф двоичного канала
Из рассмотрения графа следует, что из-за действия помех входной символ х1("1") превращается в выходной символ у 1("1") с вероятностью (1-Рe), меньшей единицы, где Рe вероятность ошибки. С вероятностью Рe этот же символ х ("1") превращается (инвертируется) в символ у2("0"). Аналогично действует помеха и на символ x2.
Пропускная способность двоичного канала связи согласно (3.11) будет равна
, (3.12)
где учтено, что log m = log 2 = 1. Предполагается, что символы х1 и х2 и, соответственно, символы у1, у2 при отсутствии помех равновероятны:
.
Найдём условную энтропию
.
Функцию будем рассматривать как функцию двух переменных хi, уj. Заметим, что оператор математического ожидания < • > для системы двух непрерывных случайных величин раскрывается с помощью двойного интеграла от произведения функции двух переменных на двумерную плотность вероятности . Аналогично этот же оператор < • > раскрывается для системы двух дискретных случайных величин с той только разницей, что интегрирование заменяется суммированием по всем индексам i, j:
, (3.13)
где р(хi,уj ) - двумерная вероятность символов хi и уj.
Так как в условиях помех символы хi и уj следует рассматривать как зависимые случайные величины, то согласно правилу произведения зависимых событий имеем
. (3.14)
Подставив (3.14) в выражение (3.13), получим
, (3.15)
где сначала суммируются все члены, зависящие от индекса j, a затем все члены, зависящие от i. Заметим, что р(х1,) = р(х2) = 0.5, р(у1½х1 ) = р(у2½х2) = 1-Рe , p(y1½x2) = p(y2½x1)= Pe Подставив эти данные в (3.15), получим
. (3.16)
Подставив результат (3.16) в формулу (3.12), получим окончательное выражение для пропускной способности двоичного цифрового канала связи
, (3.17)
где F - полоса пропускания канала связи; Рe - вероятность ошибки при передаче двоичного символа.
Пропускная способность канала связи прямо пропорциональна полосе пропускания F и является сложной функцией вероятности ошибки Рe. Представляет интерес проследить зависимость С от Рe. Эта зависимость представлена на рис.
Рe
Если Рe = 0.5, то С = 0. Этот результат имеет ясную физическую трактовку. При Рe=0.5 символы у1, у2 на выходе канала связи воссоздаются вне всякой связи с символами на входе x1, х2. Это означает, что через канал связи никакая информация в среднем не передаётся. Рост С, когда Рe> 0.5, означает, что под действием помех большинство символов инвертируется. И если работать в обратном коде, приписывая “1” символу y2, а “0” символу y1, то появляется снова возможность передавать информацию по каналу связи.
Дата добавления: 2016-01-26; просмотров: 850;