Спектральная плотность стационарного случайного процесса
Спектральной плотностью стационарного случайного процесса называется функция частоты , являющаяся прямым преобразованием Фурье от корреляционной функции этого процесса
(3.12)
Если существует прямое (3.12) преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье, которое по известной определяет :
(3.13)
Формулы (3.12) и (3.13) принимают симметричный характер, если вместо круговой частоты w использовать частоту f. При этом , а . Тогда имеем:
(3.14)
(3.15)
Воспользовавшись выражением (3.15), дадим физический смысл . Положив =0, получим
(3.16)
Как известно, определяет среднюю удельную мощность флюктуаций случайного процесса. Поэтому функция частоты , от которой берется интеграл по всем частотам, в результате чего находится , характеризует среднюю мощность процесса, приходящуюся на единицу полосы частот. Размерностью является размерность квадрата процесса, поделенная на размерность частоты. Если напряжение, то размерностью является [В2/Гц]. Заметим, что размерность совпадает с размерностью энергии [В2/Гц] = [В2 С]. Поэтому в литературе иногда называют энергетическим спектром.
Рассмотрим основные свойства спектральной плотности случайного процесса.
1. Спектральная плотность стационарного случайного процесса является действительной неотрицательной функцией частоты:
(3.17)
Это свойство вытекает из физического смысла , определяющей средний квадрат флюктуаций в единичной полосе частот. Для действительного процесса - средний квадрат флюктуаций есть всегда положительное число.
2.. Спектральная плотность стационарного процесса является четной функцией частоты:
(3.18)
Это свойство обусловлено тем, что преобразование Фурье от четной функции, каковой является , есть, в свою очередь, четная функция.
3. Пару преобразований Фурье, связывающую между собой спектральную плотность и корреляционную функцию, можно записать в виде косинус-преобразования. Используя это свойство, запишем выражения (3.12), (3.13) и (3.14), (3.15) в виде:
(3.19)
(3.20)
и
(3.21)
(3.22)
Формулы (3.19), (3.20) и (3.21), (3.22) называются формулами Винера - Хинчина по фамилиям ученых, которые впервые их получили.
4. Реальные радиотехнические устройства не различают знак частоты. Два колебания с одинаковой амплитудой и частотами, отличающимися только знаком, всегда воспринимаются устройством, как одно колебание с положительной частотой, но с удвоенной амплитудой.
Поэтому если - спектральная плотность, определенная на , а по-прежнему определена на всей оси частот от до , то имеет место формула
(3.23)
Спектральную плотность , определенную на , будем называть физическим спектром, а спектральную плотность , определенную на , - математическим спектром случайного процесса.
Формулы Винера-Хинчина для запишутся в виде:
(3.24)
(3.25)
На рис. 3.2 показана связь между и для случая низкочастотного широкополосного (рис. 3.2,а) и высокочастотных узкополосных процессов (рис. 3.2,б).
Рис. 3.2
5. Ширина оценивается эффективной шириной спектра :
(3.26)
которая определяет основание прямоугольника с высотой 1, имеющего ту же площадь, что и фигура, ограниченная кривой
Дата добавления: 2016-01-26; просмотров: 2265;